Determine a derivada das funções envolvendo funções trigonométricas.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa encontrar a derivada dela. Isso tá no campo do Cálculo Diferencial, especificamente lidando com derivadas de funções trigonométricas. Vamos precisar usar as regras de derivação para quocientes e conhecer as derivadas das funções trigonométricas básicas, como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o quociente de duas funções, a gente usa a Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se temos
, então a derivada
é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
- A derivada de
é:
- A derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente substituindo
,
,
e
:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:
Passo 6
Podemos fatorar
no numerador:
Sabemos que
(identidade trigonométrica), então:
Passo 7
Agora, o denominador é
. Então, a expressão da derivada fica:
Passo 8
Podemos simplificar mais usando que
, então:
E sabendo que
:
Resposta
A derivada da função
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
e
é a curva parametrizada por
.
Se
e
, encontre os seguintes números:
Determine a derivada das funções abaixo.
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.