Determine a derivada das funções envolvendo funções trigonométricas.
y = (tan(x) - 1) / sec(x)

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa encontrar a derivada dela. Isso tá no campo do Cálculo Diferencial, especificamente lidando com derivadas de funções trigonométricas. Vamos precisar usar as regras de derivação para quocientes e conhecer as derivadas das funções trigonométricas básicas, como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função que é o quociente de duas funções, a gente usa a Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se temos , então a derivada é dada por:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e :
  • A derivada de é:
  • A derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente substituindo , , e :

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 6

Podemos fatorar no numerador:
Sabemos que (identidade trigonométrica), então:

Passo 7

Agora, o denominador é . Então, a expressão da derivada fica:

Passo 8

Podemos simplificar mais usando que , então:
E sabendo que :

Resposta

A derivada da função é .

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