Calcule a integral de linha integralc F cdot d r, onde F(x, y)=(x-y, x+y) e c é a curva parametrizada por r(t)=(3 t+2,5 t-4), -1 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralc F cdot d r. Primeiro, vamos entender o que é isso. A integral de linha calcula a soma dos produtos de um campo vetorial F(x, y) com as pequenas mudanças no caminho c que estamos seguindo. Aqui, nosso campo vetorial é F(x, y) = (x - y, x + y) e o caminho c é dado pela parametrização r(t) = (3t + 2, 5t - 4) onde t varia de -1 a 1. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de r(t), substituir na função F e integrar o resultado.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada de r(t) em relação a t. A derivada de um vetor função nos dá o vetor tangente ao caminho naquele ponto, que é essencial para calcular dr.
drdt = ( ddt(3t + 2), ddt(5t - 4) ) = (3, 5)
Então, dr = drdt dt = (3, 5) dt.

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização r(t) na função F(x, y) para obter F(r(t)).
F(r(t)) = F(3t + 2, 5t - 4) = ( (3t + 2) - (5t - 4), (3t + 2) + (5t - 4) )
Simplificando:
F(r(t)) = ( -2t + 6, 8t - 2 )

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot drdt.
F(r(t)) cdot drdt = (-2t + 6) cdot 3 + (8t - 2) cdot 5
Calculando cada termo:
(-2t + 6) cdot 3 = -6t + 18
(8t - 2) cdot 5 = 40t - 10
Somando os dois resultados:
-6t + 18 + 40t - 10 = 34t + 8
Então, a integral se torna:
integral-1^1 (34t + 8) dt

Passo 5

Vamos integrar 34t + 8 em relação a t de -1 a 1.
Primeiro, encontramos a primitiva:
integral (34t + 8) dt = 17t^2 + 8t + C
Agora, avaliamos de t = -1 a t = 1:
[ 17(1)^2 + 8(1) ] - [ 17(-1)^2 + 8(-1) ] = (17 + 8) - (17 - 8) = 25 - 9 = 16

Resposta

O valor da integral de linha é 16.

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