Calcule a integral de linha
, onde
e
é a curva parametrizada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
. Primeiro, vamos entender o que é isso. A integral de linha calcula a soma dos produtos de um campo vetorial
com as pequenas mudanças no caminho
que estamos seguindo. Aqui, nosso campo vetorial é
e o caminho
é dado pela parametrização
onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de
, substituir na função
e integrar o resultado.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada de
em relação a
. A derivada de um vetor função nos dá o vetor tangente ao caminho naquele ponto, que é essencial para calcular
.
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização
na função
para obter
.
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
.
Calculando cada termo:
Somando os dois resultados:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
de
a
.
Primeiro, encontramos a primitiva:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
O valor da integral de linha é
.