Considere o campo vetorial F: R^3 -> R^3 definido por
F(x, y, z) = (e^z, 2yz, xe^z + y^2)
Encontre uma função potencial phi para F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial definido no espaço tridimensional. A questão pede para encontrar uma função potencial phi para esse campo. Isso significa que queremos descobrir uma função escalar varphi(x, y, z) tal que , ou seja, que as componentes de F sejam as derivadas parciais de phi em relação a x, y e z. Para resolver isso, vamos integrar cada componente de F passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se F é conservativo, então existe uma função potencial phi tal que:
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a x para encontrar phi.

Passo 3

Integrando em relação a x, temos:
Aqui, é uma função que depende apenas de y e z, já que ao integrar em relação a x, a constante pode depender das outras variáveis.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação: . Sabemos que , então:
Integrando isso em relação a y, encontramos:
onde é uma função que depende apenas de z.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão para phi, temos:
Agora, vamos usar a terceira equação para determinar .

Passo 6

A terceira equação é . Calculando a derivada de phi em relação a z:
Igualando isso a :
Percebemos que , o que implica que é uma constante. Podemos chamar essa constante de C, mas para simplificar, vamos considerar .

Resposta

A função potencial procurada é

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