Considere o campo vetorial
definido por
Encontre uma função potencial
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um campo vetorial
definido no espaço tridimensional. A questão pede para encontrar uma função potencial
para esse campo. Isso significa que queremos descobrir uma função escalar
tal que
, ou seja, que as componentes de
sejam as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Para resolver isso, vamos integrar cada componente de
passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é conservativo, então existe uma função potencial
tal que:
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
para encontrar
.
Passo 3
Integrando
em relação a
, temos:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
, já que ao integrar em relação a
, a constante pode depender das outras variáveis.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação:
. Sabemos que
, então:
Integrando isso em relação a
, encontramos:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Substituindo
de volta na expressão para
, temos:
Agora, vamos usar a terceira equação para determinar
.
Passo 6
A terceira equação é
. Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando isso a
:
Percebemos que
, o que implica que
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
, mas para simplificar, vamos considerar
.
Resposta
A função potencial procurada é
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um campo escalar e
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