Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento S = S(t), onde S é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade v(t) = S'(t) quando t = 2 s usando a definição de derivada.
S(t) = t^(-1) - t

Passo 1

Vamos resolver este exercício que envolve o cálculo da velocidade de uma partícula em movimento, utilizando a definição de derivada. Precisamos encontrar a velocidade no instante segundos, onde a posição da partícula é dada por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade v(t) é a derivada da posição S(t) em relação ao tempo t. A definição de derivada nos diz que:
Nosso objetivo é aplicar essa definição para encontrar .

Passo 3

Vamos substituir t por na definição da derivada:
Agora, vamos calcular e usando a função dada .

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Substituindo e na definição da derivada:
Simplificando o numerador:

Passo 6

Vamos reescrever a expressão:
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos separar os termos:
Simplificando cada parte:
E:
Portanto:

Resposta

A velocidade da partícula no instante segundos é ou aproximadamente .

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