Encontre
usando a definição de derivada, isto é,
. Estabeleça os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
usando a definição de derivada. Isso significa que vamos usar a fórmula:
Além disso, vamos determinar os domínios da função
e da sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivada. Derivada mede a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis. A definição formal é justamente essa que a gente vai usar para calcular
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula da derivada:
Agora, simplificamos o que está dentro da raiz:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é:
Isso ajuda a eliminar as raízes no numerador.
Passo 5
Fazendo a multiplicação, temos:
No numerador, aplica-se a diferença de quadrados:
Passo 6
Agora, o limite fica:
Podemos simplificar
no numerador e denominador:
Passo 7
Agora, aplicamos o limite
:
Resposta
A derivada de
é:
Além disso, o domínio da função
é
e o domínio da derivada é
.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
definido por
Encontre uma função potencial
para
.
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se o resultado é campo escalar ou vetorial.
Calcule a integral de linha
, onde
e
é a curva parametrizada por
.
Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento
, onde
é medido em metros e
em segundos. Encontre a velocidade
quando
usando a definição de derivada.