Uma partícula move-se ao longo de uma curva com equação do movimento S = S(t), onde S é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade v(t) = S'(t) quando t = 2 s usando a definição de derivada.
S(t) = t^2 - 6t - 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula se movendo ao longo de uma curva, com a posição dada por , onde está em metros e em segundos. O objetivo aqui é encontrar a velocidade da partícula no instante segundos usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde a derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, que matematicamente é dada por:
Então, nosso plano é aplicar essa definição à função .

Passo 3

Vamos calcular :
Expandindo essa expressão:
Agora, subtraímos :
Dividimos tudo por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0:
Então, a função velocidade é:

Resposta

Para segundos, substituímos na função da velocidade:
Portanto, a velocidade da partícula no instante de 2 segundos é -2 metros por segundo.

Exercícios relacionados