Calcule a integral de linha onde e é a curva parametrizada por ;

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva está parametrizada por para entre e . Vamos usar o conceito de integrais de linha em cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, a integral de linha nos dá uma espécie de “acumulado” do campo ao longo da curva . Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e expressar em termos dessa parametrização.

Passo 3

Nossa curva está dada por . Então, para cada coordenada:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor derivada , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, substituímos , e na função :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

A integral de linha então se torna uma integral comum em relação a :

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Resolvendo a primeira integral:
Para , fazemos a substituição , então . A integral fica:

Passo 10

Resolvendo a segunda integral:
Para , fazemos a substituição , então . A integral fica:

Passo 11

Resolvendo a terceira integral:

Resposta

A integral de linha vale .

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