Calcule a integral de linha integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=x^2 i+y^2 j+z^2 k e C é a curva parametrizada por sigma(t)=(2 cos t, 3 sin t, t), t in[0,2 pi];

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva está parametrizada por para entre e . Vamos usar o conceito de integrais de linha em cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, a integral de linha nos dá uma espécie de “acumulado” do campo ao longo da curva . Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e expressar em termos dessa parametrização.

Passo 3

Nossa curva x(t) = 2 cos t, y(t) = 3 sin t, z(t) = t está dada por . Então, para cada coordenada:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor derivada drdt = ( dxdt, dydt, dzdt ) = (-2 sin t, 3 cos t, 1) , que é a derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, substituímos F(sigma(t)) = (x(t))^2 i + (y(t))^2 j + (z(t))^2 k = (4 cos^2 t) i + (9 sin^2 t) j + t^2 k , e na função :

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot drdt = (4 cos^2 t)(-2 sin t) + (9 sin^2 t)(3 cos t) + (t^2)(1) = -8 cos^2 t sin t + 27 sin^2 t cos t + t^2 :

Passo 7

A integral de linha então se torna uma integral comum em relação a integral0^2pi ( -8 cos^2 t sin t + 27 sin^2 t cos t + t^2 ) dt :

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Resolvendo a primeira integral:
Para integral -8 u^2 (-du) = 8 integral u^2 du = 8 cdot u^33 = 83 cos^3 t |0^2pi = 83 (cos^3 2pi - cos^3 0) = 0 , fazemos a substituição , então . A integral fica:

Passo 10

Resolvendo a segunda integral:
Para 27 integral v^2 dv = 27 cdot v^33 = 9 sin^3 t |0^2pi = 9 (sin^3 2pi - sin^3 0) = 0 , fazemos a substituição , então . A integral fica:

Passo 11

Resolvendo a terceira integral:
integral0^2pi t^2 , dt = t^33 |0^2pi = (2pi)^33 - 0 = 8pi^33

Resposta

A integral de linha vale .

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