Calcule a integral de linha onde e é a curva parametrizada por ;
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva está parametrizada por para entre e . Vamos usar o conceito de integrais de linha em cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, a integral de linha nos dá uma espécie de “acumulado” do campo ao longo da curva . Para calcular isso, precisamos parametrizar a curva e expressar em termos dessa parametrização.
Passo 3
Nossa curva está dada por . Então, para cada coordenada:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor derivada , que é a derivada de em relação a :
Passo 5
Em seguida, substituímos , e na função :
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 7
A integral de linha então se torna uma integral comum em relação a :
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Resolvendo a primeira integral:
Para , fazemos a substituição , então . A integral fica:
Passo 10
Resolvendo a segunda integral:
Para , fazemos a substituição , então . A integral fica: