Partícula Livre V(x)=0 - Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial psi(x, t=0)=A e^-a x^2 sendo a>0 real e positiva. Sendo assim, mostre que para t>0, temos psi(x, t)=(2 api)^1 / 4e^-a x^2 /(1+2 i hbar a t / m)raiz1+2 i hbar a t / m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula livre, que é tipo uma partícula que não está se sentindo nenhuma força, ou seja, V(x) = 0. A função de onda inicial dessa partícula é dada por psi(x, t=0) = A e^-a x^2 onde a é um número positivo. Nosso objetivo é mostrar como essa função de onda evolui com o tempo, ou seja, encontrar psi(x, t) para t > 0. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a evolução temporal das funções de onda e como elas se comportam sob o operador Hamiltoniano para partículas livres.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula livre, a equação de Schrödinger depende apenas do operador cinético, já que a potencial V(x) é zero. A equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por:
ihbar partial psipartial t = -hbar^22m partial^2 psipartial x^2
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida e m é a massa da partícula.

Passo 3

A solução geral da equação de Schrödinger para uma partícula livre pode ser encontrada usando a transformada de Fourier. A ideia é decompor a função de onda inicial em ondas planas, que evoluem no tempo de forma simples. A função de onda no tempo t é dada por:
psi(x, t) = 1raiz2pi integral-infty^infty phi(k) e^i(kx - omega t) dk
onde phi(k) é a transformada de Fourier da função de onda inicial, e omega = hbar k^22m é a frequência angular.

Passo 4

Vamos calcular a transformada de Fourier da função de onda inicial psi(x, 0) = A e^-a x^2. A transformada de Fourier de uma gaussiana é outra gaussiana. Então, temos:
phi(k) = A raizpia e^- k^24a
Essa expressão mostra como a função de onda inicial se decompõe em diferentes componentes de momento k.

Passo 5

Substituindo phi(k) na expressão para psi(x, t), temos:
psi(x, t) = A raizpiaraiz2pi integral-infty^infty e^- k^24a e^i(kx - hbar k^22m t) dk
Vamos simplificar os termos constantes:
psi(x, t) = A (pi2a)^1/2 integral-infty^infty e^- k^24a + ikx - ihbar k^22m t dk

Passo 6

Agora, vamos combinar os termos no expoente que contêm k^2. Isso resulta em:
psi(x, t) = A (pi2a)^1/2 integral-infty^infty e^-k^2(14a + ihbar t2m) + ikx dk
Podemos reescrever o coeficiente de k^2 como:
14a + ihbar t2m = 1 + 2i hbar a t / m4a

Passo 7

A integral agora tem a forma de uma transformada de Fourier de uma gaussiana complexa. Sabemos que:
integral-infty^infty e^ -alpha k^2 + beta k dk = raizpialpha e^beta^24alpha
Aplicando isso à nossa integral, onde alpha = 1 + 2i hbar a t / m4a e beta = ix, obtemos:
psi(x, t) = A (pi2a)^1/2 raizpialpha e^- x^24alpha

Passo 8

Substituindo alpha de volta, temos:

Simplificando os termos:
psi(x, t) = A (pi2a)^1/2 raiz4api1 + 2i hbar a t / m e^- x^24 cdot 1 + 2i hbar a t / m4a

Passo 9

Finalmente, para que a função de onda esteja devidamente normalizada, escolhemos A = (2api)^1/4. Assim, a função de onda no tempo t fica:
psi(x, t) = (2 api)^1/4 e^-a x^2 /(1+2 i hbar a t / m)raiz1+2 i hbar a t / m

Resposta

Portanto, para t > 0, a função de onda evoluída da partícula livre é:
psi(x, t) = (2 api)^1 / 4 e^-a x^2 /(1+2 i hbar a t / m)raiz1+2 i hbar a t / m

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