Partícula Livre - Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial sendo real e positiva. Sendo assim, mostre que para , temos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula livre, que é tipo uma partícula que não está se sentindo nenhuma força, ou seja, . A função de onda inicial dessa partícula é dada por onde é um número positivo. Nosso objetivo é mostrar como essa função de onda evolui com o tempo, ou seja, encontrar para . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a evolução temporal das funções de onda e como elas se comportam sob o operador Hamiltoniano para partículas livres.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula livre, a equação de Schrödinger depende apenas do operador cinético, já que a potencial é zero. A equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por:

Aqui, é a constante de Planck reduzida e é a massa da partícula.

Passo 3

A solução geral da equação de Schrödinger para uma partícula livre pode ser encontrada usando a transformada de Fourier. A ideia é decompor a função de onda inicial em ondas planas, que evoluem no tempo de forma simples. A função de onda no tempo é dada por:

onde é a transformada de Fourier da função de onda inicial, e é a frequência angular.

Passo 4

Vamos calcular a transformada de Fourier da função de onda inicial . A transformada de Fourier de uma gaussiana é outra gaussiana. Então, temos:

Essa expressão mostra como a função de onda inicial se decompõe em diferentes componentes de momento .

Passo 5

Substituindo na expressão para , temos:

Vamos simplificar os termos constantes:

Passo 6

Agora, vamos combinar os termos no expoente que contêm . Isso resulta em:

Podemos reescrever o coeficiente de como:

Passo 7

A integral agora tem a forma de uma transformada de Fourier de uma gaussiana complexa. Sabemos que:

Aplicando isso à nossa integral, onde e , obtemos:

Passo 8

Substituindo de volta, temos:

Simplificando os termos:

Passo 9

Finalmente, para que a função de onda esteja devidamente normalizada, escolhemos . Assim, a função de onda no tempo fica:

Resposta

Portanto, para , a função de onda evoluída da partícula livre é:

Exercícios relacionados

Temperatura crítica de um BEC- A seperação média entre as partículas de um BEC (condensado de Bose-Einstein) com partículas e volume é . Relacionando a energia cinética das partículas com a energia térmica, temos , sendo a constante de Boltzmann. Usando o princípio da incerteza (use ), faça uma estimativa da temperatura crítica desse BEC e mostre que Algumas analogias (que não rigorosas) são feitas entre um BEC e o superfluido de Hélio onde . Assim, estime qual seria a densisade de partículas em um superfluido.
Corrente de Probabilidade/Eq. da Continuidade- Calcule para: (i) , (ii) e (iii) Para uma função de onda real. Esse exercício elucida porque é interpretada como uma onda se propagando no sentido de . Mostre que se para , então , ou seja, a probabilidade total , sendo não muda no tempo.
Partícula Livre - Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial sendo real e positiva. Sendo assim, calcule via normalização
Calcule a integral de linha onde e é a curva parametrizada por ;