Partícula Livre
- Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial
sendo
real e positiva. Sendo assim, mostre que para
, temos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula livre, que é tipo uma partícula que não está se sentindo nenhuma força, ou seja,
. A função de onda inicial dessa partícula é dada por
onde
é um número positivo. Nosso objetivo é mostrar como essa função de onda evolui com o tempo, ou seja, encontrar
para
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a evolução temporal das funções de onda e como elas se comportam sob o operador Hamiltoniano para partículas livres.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula livre, a equação de Schrödinger depende apenas do operador cinético, já que a potencial
é zero. A equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por:
Aqui,
Passo 3
A solução geral da equação de Schrödinger para uma partícula livre pode ser encontrada usando a transformada de Fourier. A ideia é decompor a função de onda inicial em ondas planas, que evoluem no tempo de forma simples. A função de onda no tempo
é dada por:
onde
Passo 4
Vamos calcular a transformada de Fourier da função de onda inicial
. A transformada de Fourier de uma gaussiana é outra gaussiana. Então, temos:
Essa expressão mostra como a função de onda inicial se decompõe em diferentes componentes de momento
Passo 5
Substituindo
na expressão para
, temos:
Vamos simplificar os termos constantes:
Passo 6
Agora, vamos combinar os termos no expoente que contêm
. Isso resulta em:
Podemos reescrever o coeficiente de
Passo 7
A integral agora tem a forma de uma transformada de Fourier de uma gaussiana complexa. Sabemos que:
Aplicando isso à nossa integral, onde
Passo 8
Substituindo
de volta, temos:
Simplificando os termos:
Passo 9
Finalmente, para que a função de onda esteja devidamente normalizada, escolhemos
. Assim, a função de onda no tempo
fica:
Resposta
Portanto, para
, a função de onda evoluída da partícula livre é: