Dada uma distribuição contínua de carga de densidade , o campo eletrostático é dado pela equação de Poisson: , ou,
Por outro lado, para uma carga puntiforme localizada na posição , o potencial é dado por:
Onde,
Usando o fato de que é conhecido, utilize a segunda identidade de Green para derivar a expressão:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição contínua de carga com densidade e queremos relacionar isso com o potencial eletrostático usando a equação de Poisson. Para resolver isso, vamos usar a segunda identidade de Green, que nos ajuda a lidar com equações diferenciais como a de Poisson. Vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial e potenciais eletrostáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Poisson para o potencial eletrostático :
Aqui, é o operador laplaciano, que mede como a função se comporta no espaço, é a densidade de carga, e é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Sabemos que para uma carga pontual localizada em , o potencial é dado por:
Isso nos diz como o potencial se comporta em relação a uma carga isolada. Também sabemos que:
Onde é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares exceto em .
Passo 4
A segunda identidade de Green nos diz que, para duas funções escalares e , temos:
Vamos aplicar essa identidade com e .
Passo 5
Substituindo e na identidade de Green, temos:
Passo 6
Sabemos que e . Substituindo essas expressões, obtemos:
Passo 7
Simplificando o lado esquerdo da equação:
Passo 8
Rearranjando os termos para isolar :
Passo 9
Identificamos que é igual a , onde é o campo elétrico. Substituindo isso na equação, temos:
Passo 10
Finalmente, reconhecemos que o potencial total é composto pela contribuição do volume onde está a carga e pelas contribuições das superfícies. Arrumando os termos, obtemos a expressão desejada:
Resposta
Assim, derivamos que o potencial eletrostático é dado por: