Dada uma distribuição contínua de carga de densidade , o campo eletrostático é dado pela equação de Poisson:
, ou,
Por outro lado, para uma carga puntiforme localizada na posição , o potencial é dado por:
Onde,

Usando o fato de que é conhecido, utilize a segunda identidade de Green para derivar a expressão:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição contínua de carga com densidade e queremos relacionar isso com o potencial eletrostático usando a equação de Poisson. Para resolver isso, vamos usar a segunda identidade de Green, que nos ajuda a lidar com equações diferenciais como a de Poisson. Vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial e potenciais eletrostáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Poisson para o potencial eletrostático :
Aqui, é o operador laplaciano, que mede como a função se comporta no espaço, é a densidade de carga, e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Sabemos que para uma carga pontual localizada em , o potencial é dado por:
Isso nos diz como o potencial se comporta em relação a uma carga isolada. Também sabemos que:
Onde é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares exceto em .

Passo 4

A segunda identidade de Green nos diz que, para duas funções escalares e , temos:
Vamos aplicar essa identidade com e .

Passo 5

Substituindo e na identidade de Green, temos:

Passo 6

Sabemos que e . Substituindo essas expressões, obtemos:

Passo 7

Simplificando o lado esquerdo da equação:

Passo 8

Rearranjando os termos para isolar :

Passo 9

Identificamos que é igual a , onde é o campo elétrico. Substituindo isso na equação, temos:

Passo 10

Finalmente, reconhecemos que o potencial total é composto pela contribuição do volume onde está a carga e pelas contribuições das superfícies. Arrumando os termos, obtemos a expressão desejada:

Resposta

Assim, derivamos que o potencial eletrostático é dado por:

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