Deduza o teorema do Virial que estabelece (em 1D)
Dica: (i) Use uma decomposição polar da função de onda
(geral para qualquer função complexa) e mostre que podemos usar
(função de onda real para calcular o lado esquerdo da equação). (ii) Use que
quando
, isso permite trocar as derivadas em relação a
, usando a regra da derivada do produto de funções. (iii) Oportunamente, use que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para deduzir o Teorema do Virial em uma dimensão (1D). A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, mais especificamente, como relacionar a energia potencial e a energia cinética de um sistema. Para resolver isso, vamos precisar decompor a função de onda, usar algumas propriedades de limites e aplicar certas regras de derivação. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função de onda usando a forma polar. A função de onda complexa
pode ser escrita como:
onde
é a amplitude real e
é a fase. No nosso caso, vamos mostrar que podemos considerar
, simplificando a função de onda para realidades, ou seja:
Isso facilita o cálculo do lado esquerdo da equação do Teorema do Virial.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o limite quando
tende a mais ou menos infinito. A dica diz que
quando
. Isso é importante porque nos permite trocar as derivadas em relação a
usando a regra da derivada do produto. Em termos simples, isso significa que os termos de fronteira desaparecem, deixando-nos com expressions mais simples para manipular.
Passo 4
Vamos agora relacionar a energia total
com a energia potencial
e a energia cinética. A dica nos dá a relação:
Aqui,
é a constante reduzida de Planck e
é a massa da partícula. Essa relação conecta as diferentes formas de energia no sistema, o que é fundamental para deduzir o Teorema do Virial.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos montar a equação do Teorema do Virial. Substituindo e rearranjando os termos conforme necessário, chegamos à seguinte igualdade:
Essa é a forma final do Teorema do Virial em uma dimensão, relacionando a média da força potencial com a média da energia cinética.