Partícula Livre V(x)=0 - Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial psi(x, t=0)=A e^-a x^2 sendo a>0 real e positiva. Sendo assim, calcule A via normalização

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula livre com uma função de onda inicial dada por , onde é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de usando a normalização da função de onda. Normalização é basicamente ajustar a função de onda para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para normalizar a função de onda, a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso fica assim:
integral-infty^infty |psi(x, 0)|^2 dx = 1
No nosso caso, A^2 integral-infty^infty e^-2a x^2 dx = 1 . Então, a equação de normalização fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral integral-infty^infty e^-k x^2 dx = raizpik . Isso é uma integral gaussiana padrão, e a gente sabe que:
integral-infty^infty e^-2a x^2 dx = raizpi2a
No nosso caso, , então:

Passo 4

Substituindo o resultado da integral na equação de normalização, temos:
A^2 raizpi2a = 1
Agora, vamos resolver para A^2 = 1raizpi2a = raiz2api :

Passo 5

Finalmente, para encontrar A = (2api)^14 , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O valor de A = (2api)^14 é:

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