Partícula Livre
- Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial
sendo
real e positiva. Sendo assim, calcule
via normalização
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula livre com uma função de onda inicial dada por
, onde
é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
usando a normalização da função de onda. Normalização é basicamente ajustar a função de onda para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para normalizar a função de onda, a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso fica assim:
No nosso caso,
. Então, a equação de normalização fica:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a integral
. Isso é uma integral gaussiana padrão, e a gente sabe que:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Substituindo o resultado da integral na equação de normalização, temos:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Finalmente, para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O valor de
é:
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sendo
real e positiva. Sendo assim, mostre que para
, temos
Temperatura crítica de um BEC- A seperação média entre as partículas de um BEC (condensado de Bose-Einstein) com
partículas e volume
é
. Relacionando a energia cinética das partículas com a energia térmica, temos
, sendo
a constante de Boltzmann. Usando o princípio da incerteza (use
), faça uma estimativa da temperatura crítica
desse BEC e mostre que
Algumas analogias (que não rigorosas) são feitas entre um BEC e o superfluido de Hélio onde
. Assim, estime qual seria a densisade de partículas
em um superfluido.
Calcule a integral de linha
onde
e
é a curva parametrizada por
;
Deduza o teorema do Virial que estabelece (em 1D)
Dica: (i) Use uma decomposição polar da função de onda
(geral para qualquer função complexa) e mostre que podemos usar
(função de onda real para calcular o lado esquerdo da equação). (ii) Use que
quando
, isso permite trocar as derivadas em relação a
, usando a regra da derivada do produto de funções. (iii) Oportunamente, use que
.