Calcule a integral de linha
, nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
e a curva
é dada por
, com
variando de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada de
, substituir na função
e então calcular o produto escalar para integrar no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
que estamos percorrendo. Ela está parametrizada por
, onde
vai de 0 a 1. Isso significa que, conforme
varia de 0 a 1, a posição ao longo da curva muda de acordo com essa função.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, que é conhecida como vetor velocidade
. Fazendo a derivação termo a termo:
Passo 4
Em seguida, vamos substituir a parametrização
na função campo
. Isso significa substituir
,
e
pelos componentes de
:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 6
Por fim, vamos integrar esse produto escalar de
a
:
Resposta
O valor da integral de linha é 1.
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Esboce o campo vetorial
em pelo menos cinco pontos.
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:
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Prove (usando a definição):