Calcule a integral de linha , nos seguintes casos: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva é dada por , com variando de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada de , substituir na função e então calcular o produto escalar para integrar no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva que estamos percorrendo. Ela está parametrizada por , onde vai de 0 a 1. Isso significa que, conforme varia de 0 a 1, a posição ao longo da curva muda de acordo com essa função.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , que é conhecida como vetor velocidade . Fazendo a derivação termo a termo:

Passo 4

Em seguida, vamos substituir a parametrização na função campo . Isso significa substituir , e pelos componentes de :

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto escalar entre e :

Passo 6

Por fim, vamos integrar esse produto escalar de a :

Resposta

O valor da integral de linha é 1.

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Prove (usando a definição):