Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, nos seguintes casos: F(x, y, z)=x i-z j+y k e r(t)=2 t i+3 t j-t^2 k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial F(x, y, z) = x i - z j + y k e a curva C é dada por r(t) = 2t i + 3t j - t^2 k, com t variando de 0 a 1. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha. Vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada de r(t), substituir na função F e então calcular o produto escalar para integrar no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C que estamos percorrendo. Ela está parametrizada por r(t) = 2t i + 3t j - t^2 k, onde t vai de 0 a 1. Isso significa que, conforme t varia de 0 a 1, a posição ao longo da curva muda de acordo com essa função.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de r(t) em relação a t, que é conhecida como vetor velocidade r'(t). Fazendo a derivação termo a termo:
r'(t) = ddt(2t) i + ddt(3t) j + ddt(-t^2) k = 2 i + 3 j - 2t k

Passo 4

Em seguida, vamos substituir a parametrização r(t) na função campo F(x, y, z). Isso significa substituir x, y e z pelos componentes de r(t):
F(r(t)) = x i - z j + y k = (2t) i - (-t^2) j + (3t) k = 2t i + t^2 j + 3t k

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto escalar entre F(r(t)) e r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = (2t)(2) + (t^2)(3) + (3t)(-2t) = 4t + 3t^2 - 6t^2 = 4t - 3t^2

Passo 6

Por fim, vamos integrar esse produto escalar de t = 0 a t = 1:
integral0^1 (4t - 3t^2) , dt = integral0^1 4t , dt - integral0^1 3t^2 , dt = [2t^2]0^1 - [t^3]0^1 = (2(1)^2 - 2(0)^2) - (1^3 - 0^3) = 2 - 1 = 1

Resposta

O valor da integral de linha é 1.

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