Calcule a integral de linha
, nos seguintes casos:
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Estamos lidando com uma integral de linha, que é um conceito em cálculo vetorial. A integral de linha basicamente nos ajuda a calcular o “trabalho” realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. Para resolver esse exercício, vamos precisar da função vetorial
e da parametrização da curva
, onde o parâmetro
varia de
a
.
Passo 2
O primeiro passo para calcular a integral de linha é substituir a parametrização da curva na função vetorial
. Para isso, precisamos reescrever
em termos de
. Ao fazer isso, obtemos as componentes
e
a partir da curva. Sabemos que:
Então, substituindo os valores de
e
na função vetorial
, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de
, que é
. Podemos obter isso derivando a parametrização
em relação a
:
Isso nos dá
.
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos calcular a integral de linha. A integral de linha é dada por:
Substituindo as expressões que encontramos, temos:
Assim, a integral se torna:
Passo 5
Agora, vamos separar essa integral:
A primeira parte da integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
. Quando
,
e quando
,
. Então a integral fica:
Para a segunda parte, temos:
Resposta
Agora, somando as duas partes:
Portanto, o resultado final da integral de linha é: