Calcule a integral de linha , nos seguintes casos:
(a) e .
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Estamos lidando com uma integral de linha, que é um conceito em cálculo vetorial. A integral de linha basicamente nos ajuda a calcular o “trabalho” realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. Para resolver esse exercício, vamos precisar da função vetorial e da parametrização da curva , onde o parâmetro varia de a .
Passo 2
O primeiro passo para calcular a integral de linha é substituir a parametrização da curva na função vetorial . Para isso, precisamos reescrever em termos de . Ao fazer isso, obtemos as componentes e a partir da curva. Sabemos que:
Então, substituindo os valores de e na função vetorial , temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de , que é . Podemos obter isso derivando a parametrização em relação a :
Isso nos dá .
Passo 4
Agora que temos e , podemos calcular a integral de linha. A integral de linha é dada por:
Substituindo as expressões que encontramos, temos:
Assim, a integral se torna:
Passo 5
Agora, vamos separar essa integral:
A primeira parte da integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então . Quando , e quando , . Então a integral fica:
Para a segunda parte, temos:
Resposta
Agora, somando as duas partes:
Portanto, o resultado final da integral de linha é: