Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, nos seguintes casos:
(a) F(x, y)=(e^x-1, x y) e r(t)=t^2 i+t^3 j, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Estamos lidando com uma integral de linha, que é um conceito em cálculo vetorial. A integral de linha basicamente nos ajuda a calcular o “trabalho” realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. Para resolver esse exercício, vamos precisar da função vetorial F(x, y)=(e^x-1, x y) e da parametrização da curva r(t)=t^2 i+t^3 j, onde o parâmetro t varia de 0 a 1.

Passo 2

O primeiro passo para calcular a integral de linha é substituir a parametrização da curva na função vetorial F. Para isso, precisamos reescrever F em termos de t. Ao fazer isso, obtemos as componentes x e y a partir da curva. Sabemos que:
  • x = t^2
  • y = t^3
Então, substituindo os valores de x e y na função vetorial F, temos:
F(r(t)) = F(t^2, t^3) = (e^t^2 - 1, t^2 cdot t^3) = (e^t^2 - 1, t^5)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de r, que é dr. Podemos obter isso derivando a parametrização r(t) em relação a t:
drdt = ddt(t^2 i + t^3 j) = 2t i + 3t^2 j
Isso nos dá dr = (2t i + 3t^2 j) dt.

Passo 4

Agora que temos F(r(t)) e dr, podemos calcular a integral de linha. A integral de linha é dada por:
integralC F cdot dr = integral0^1 F(r(t)) cdot drdt , dt
Substituindo as expressões que encontramos, temos:
F(r(t)) cdot drdt = (e^t^2 - 1, t^5) cdot (2t, 3t^2) = e^t^2 - 1 cdot 2t + t^5 cdot 3t^2 = 2t e^t^2 - 1 + 3t^7
Assim, a integral se torna:
integral0^1 (2t e^t^2 - 1 + 3t^7) dt

Passo 5

Agora, vamos separar essa integral:
integral0^1 2t e^t^2 - 1 dt + integral0^1 3t^7 dt
A primeira parte da integral, vamos fazer uma substituição. Seja u = t^2 - 1, então du = 2t dt. Quando t = 0, u = -1 e quando t = 1, u = 0. Então a integral fica:
integral-1^0 e^u du = [e^u]-1^0 = e^0 - e^-1 = 1 - 1e
Para a segunda parte, temos:
integral0^1 3t^7 dt = 3 cdot t^88 |0^1 = 3 cdot 18 = 38

Resposta

Agora, somando as duas partes:
(1 - 1e) + 38 = 1 - 1e + 38
Portanto, o resultado final da integral de linha é:
1 - 1e + 38

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