Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano e acima do retângulo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo do plano dado pela equação e acima de um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes de forma bem legal.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para expressar em função de e . A ideia é descobrir qual é a altura do plano em cada ponto dentro do retângulo .
Dada a equação do plano:
Vamos isolar :
Então, a altura é:
Passo 3
Agora, para encontrar o volume, vamos integrar essa função sobre a região . Isso significa que vamos somar todas as pequenas “fatias” de volume dentro do retângulo.
A fórmula para a integral dupla que representa o volume é:
Substituindo :
Os limites de integração são e .
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a mantendo fixo.