Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano e acima do retângulo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo do plano dado pela equação e acima de um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes de forma bem legal.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para expressar em função de e . A ideia é descobrir qual é a altura do plano em cada ponto dentro do retângulo .
Dada a equação do plano:
Vamos isolar :
Então, a altura é:

Passo 3

Agora, para encontrar o volume, vamos integrar essa função sobre a região . Isso significa que vamos somar todas as pequenas “fatias” de volume dentro do retângulo.
A fórmula para a integral dupla que representa o volume é:
Substituindo :
Os limites de integração são e .

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a mantendo fixo.
Calculando a integral interna:
Substituindo os limites de :
Agora, integramos em relação a :
Substituindo os limites de :

Resposta

O volume do sólido é 51 unidades cúbicas.

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Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funçōes no ponto indicado: , em .
Calcule a integral de linha , nos seguintes casos:
(a) e .
Determine o rotacional e o divergente dos campos vetoriais.
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Determine o volume aproximado do sólido no primeiro octante que é limitado pelos plangs e pelo cilindro . (Utilize uma ferramenta gráfica para estimar os ponlos de intersecção.