Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4 x+6 y-2 z+15=0 e acima do retângulo R=(x, y) mid-1 <= x <= 2,-1 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo do plano dado pela equação e acima de um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes de forma bem legal.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para expressar 4x + 6y - 2z + 15 = 0 em função de -2z = -4x - 6y - 15 e z = 4x + 6y + 152 . A ideia é descobrir qual é a altura do plano em cada ponto z(x, y) = 2x + 3y + 7.5 dentro do retângulo .
Dada a equação do plano:
Vamos isolar :
Então, a altura é:

Passo 3

Agora, para encontrar o volume, vamos integrar essa função V = integral duplaR z(x, y) , dx , dy sobre a região V = integral duplaR (2x + 3y + 7.5) , dx , dy . Isso significa que vamos somar todas as pequenas “fatias” de volume dentro do retângulo.
A fórmula para a integral dupla que representa o volume é:
Substituindo :
Os limites de integração são e .

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a V = integral-1^2 ( integral-1^1 (2x + 3y + 7.5) , dy ) dx mantendo integral-1^1 (2x + 3y + 7.5) , dy = 2x(y) + 32y^2 + 7.5y g|-1^1 fixo.
= 2x(1) + 32(1)^2 + 7.5(1) - [2x(-1) + 32(-1)^2 + 7.5(-1)]
Calculando a integral interna:
= 2x + 32 + 7.5 + 2x - 32 + 7.5
Substituindo os limites de = 4x + 15 :
V = integral-1^2 (4x + 15) , dx = 2x^2 + 15x g|-1^2
= 2(2)^2 + 15(2) - [2(-1)^2 + 15(-1)]
= 8 + 30 - (2 - 15)
Agora, integramos em relação a = 38 - (-13) = 51 :
Substituindo os limites de :

Resposta

O volume do sólido é 51 unidades cúbicas.

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