Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funçōes no ponto indicado: f(x)=(x+x^3)(x^5-3 x^2+x), em a=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente o limite que define a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h em é dada por:
Aqui, nosso ponto é 0, então vamos substituir na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular f(0) = (0 + 0^3)(0^5 - 3 cdot 0^2 + 0) = 0 cdot 0 = 0 :

Passo 4

Agora, vamos calcular f(h) = (h + h^3)(h^5 - 3h^2 + h) :
f(h) = h cdot h^5 - 3h cdot h^2 + h cdot h + h^3 cdot h^5 - 3h^3 cdot h^2 + h^3 cdot h
Vamos expandir essa expressão multiplicando os termos:
f(h) = h^6 - 3h^3 + h^2 + h^8 - 3h^5 + h^4

Passo 5

Rearranjando os termos para facilitar:
f(h) = h^8 + h^6 - 3h^5 + h^4 - 3h^3 + h^2

Passo 6

Vamos substituir f'(0) = limh to 0 h^8 + h^6 - 3h^5 + h^4 - 3h^3 + h^2 - 0h e f'(0) = limh to 0 ( h^7 + h^5 - 3h^4 + h^3 - 3h^2 + h ) na definição da derivada:
Simplificando cada termo:

Passo 7

Agora, avaliamos o limite quando f'(0) = 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 = 0 tende a 0. Todos os termos com elevado a uma potência positiva vão tender a 0:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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