Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto p indicado:
x^3-x y+y^3=7, em p=(2,1)

Passo 1

Então, a gente tem que achar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivação implícita, que é útil quando a equação da curva não está facilmente resolvida para em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação da curva em relação a ddx(x^3) - ddx(x y) + ddx(y^3) = ddx(7) . Como a equação é 3x^2 - ( y + x dydx ) + 3y^2 dydx = 0 , aplicamos a derivada a cada termo:
Isso dá:

Passo 3

Agora, vamos isolar 3x^2 - y = x dydx - 3y^2 dydx . Reorganizando os termos:
3x^2 - y = dydx (x - 3y^2)
Fatorando dydx = 3x^2 - yx - 3y^2 :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto dydx = 3(2)^2 - 12 - 3(1)^2 = 12 - 12 - 3 = 11-1 = -11 . Substituímos e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação y - y1 = m (x - x1) e o ponto y - 1 = -11 (x - 2) , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y = -11x + 22 + 1 y = -11x + 23
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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