Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:
, em

Passo 1

Então, a gente tem que achar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivação implícita, que é útil quando a equação da curva não está facilmente resolvida para em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação da curva em relação a . Como a equação é , aplicamos a derivada a cada termo:
Isso dá:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Reorganizando os termos:
Fatorando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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(a) e .
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