Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
Passo 1
Então, a gente tem que achar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivação implícita, que é útil quando a equação da curva não está facilmente resolvida para
em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação da curva em relação a
. Como a equação é
, aplicamos a derivada a cada termo:
Isso dá:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Reorganizando os termos:
Fatorando
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
e
na expressão da derivada:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
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Seja
. Calcule
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
; em torno do eixo
Calcule a integral de linha
, nos seguintes casos:
(a) e
.
(a)
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funçōes no ponto indicado:
, em
.