Calcule a integral de linha , onde C é dada pelas equações paramétricas , com

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha , onde a curva é definida pelas equações paramétricas , , , com . O campo vetorial é dado por . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de linha, que envolve parametrizar a curva, calcular o diferencial de posição e depois fazer o produto escalar com o campo .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva usando o parâmetro . As equações paramétricas já nos dão isso:
Agora, precisamos encontrar o vetor derivada , que representa o diferencial de posição :
Então,

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores de , e no campo vetorial :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar :

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:
Calculando cada integral separadamente:

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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onde
Comentário: Sejam uma solução do problema do exercício 2 e uma solução do problema do exercício 3. Então é uma solução para o problema do exercício 4 ?
Determine uma solução para o problema
Dada a função , com .
Determine:
(a)
Dada a função , com .
Determine:
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