Calcule a integral de linha integralC F cdot d T, onde C é dada pelas equações paramétricas x=t^2, y=t e z=3 t, com 0 <= t <= 1 e F(x, y, z)=x i+x y j+z k

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de linha , onde a curva é definida pelas equações paramétricas , , , com . O campo vetorial é dado por . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de linha, que envolve parametrizar a curva, calcular o diferencial de posição e depois fazer o produto escalar com o campo .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = t^2, y(t) = t e, z(t) = 3 t usando o parâmetro dxdt = 2 t, dydt = e, dzdt = 3 . As equações paramétricas já nos dão isso:
dT = (2 t i + e j + 3 k) dt
Agora, precisamos encontrar o vetor derivada , que representa o diferencial de posição :
Então,

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores de F(x(t), y(t), z(t)) = t^2 i + (t^2 cdot t e) j + 3 t k = t^2 i + t^3 e j + 3 t k , e no campo vetorial :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar F cdot dT = (t^2)(2 t) + (t^3 e)(e) + (3 t)(3) = 2 t^3 + t^3 e^2 + 9 t :

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 (2 t^3 + t^3 e^2 + 9 t) dt = integral0^1 2 t^3 dt + integral0^1 t^3 e^2 dt + integral0^1 9 t dt de 0 a 1:
integral0^1 2 t^3 dt = 2 [t^44]0^1 = 2 (14 - 0) = 12
Calculando cada integral separadamente:
integral0^1 t^3 e^2 dt = e^2 [t^44]0^1 = e^2 (14 - 0) = e^24
integral0^1 9 t dt = 9 [t^22]0^1 = 9 (12 - 0) = 92

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais:
12 + e^24 + 92 = 12 + 92 + e^24 = 102 + e^24 = 5 + e^24

Resposta

A integral de linha é igual a .

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