Determine uma solução para o problema
l ut t=4 ux x em R=(x, t) in R^2 mid x in(0,30) e t>0 u(0, t)=u(30, t)=0 para todo t>0 u(x, 0)=f(x) para todo x in[0,30] ut(x, 0)=x^2-30 x para todo x in[0,30]
onde
f(x)=l x / 10 se x in[0,10] (30-x) / 20 se x in(10,30]
Comentário: Sejam v uma solução do problema do exercício 2 e w uma solução do problema do exercício 3. Então u=v+w é uma solução para o problema do exercício 4 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma solução para um problema envolvendo uma equação diferencial parcial, conhecida como equação da onda. Vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier e separação de variáveis para resolver isso. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
utt = 4 uxx
Isso descreve como a função muda no tempo e no espaço. A equação da onda geralmente modela vibrações ou ondas, como uma corda vibrando.

Passo 3

As condições de contorno são:
u(0, t) = u(30, t) = 0 para todo t > 0
Isso significa que nas extremidades e , a função é sempre zero. Imagina uma corda fixa em dois pontos.

Passo 4

As condições iniciais fornecem o estado da corda no tempo u(x, 0) = f(x) e ut(x, 0) = x^2 - 30x para todo x in [0,30] :
Aqui, descreve a forma inicial da corda, e descreve a velocidade inicial com que a corda está se movendo.

Passo 5

A função f(x) = x10 & se x in [0,10] 30 - x20 & se x in (10,30] está definida por partes:
Isso define como a corda está inicialmente posicionada.

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos usar a separação de variáveis e expandir e em séries de senos, já que as condições de contorno são zero nas extremidades.

Passo 7

Assumimos uma solução da forma:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(2npi t30) + Bn sin(2npi t30) ] sin(npi x30)
Aqui, e são coeficientes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 8

Aplicando a condição inicial f(x) = sumn=1^infty An sin(npi x30) , temos:
Para encontrar , usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para séries de seno.

Passo 9

Da condição inicial de velocidade ut(x, 0) = sumn=1^infty 2npi30 Bn sin(npi x30) :
Novamente, usamos a fórmula de Fourier para determinar .

Passo 10

Calculando os coeficientes e , integramos e multiplicados por ao longo do intervalo de 0 a 30 e normalizamos.

Passo 11

Após encontrar os coeficientes, substituímos de volta na série para obter a solução completa .

Resposta

A solução para o problema é:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(2npi t30) + Bn sin(2npi t30) ] sin(npi x30)
onde os coeficientes e são determinados pelas condições iniciais e através das séries de Fourier.

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