Comentário: Sejam uma solução do problema do exercício 2 e uma solução do problema do exercício 3. Então é uma solução para o problema do exercício 4 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma solução para um problema envolvendo uma equação diferencial parcial, conhecida como equação da onda. Vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier e separação de variáveis para resolver isso. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Isso descreve como a função muda no tempo e no espaço. A equação da onda geralmente modela vibrações ou ondas, como uma corda vibrando.
Passo 3
As condições de contorno são:
Isso significa que nas extremidades e , a função é sempre zero. Imagina uma corda fixa em dois pontos.
Passo 4
As condições iniciais fornecem o estado da corda no tempo :
Aqui, descreve a forma inicial da corda, e descreve a velocidade inicial com que a corda está se movendo.
Passo 5
A função está definida por partes:
Isso define como a corda está inicialmente posicionada.
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos usar a separação de variáveis e expandir e em séries de senos, já que as condições de contorno são zero nas extremidades.
Passo 7
Assumimos uma solução da forma:
Aqui, e são coeficientes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 8
Aplicando a condição inicial , temos:
Para encontrar , usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para séries de seno.
Passo 9
Da condição inicial de velocidade :
Novamente, usamos a fórmula de Fourier para determinar .
Passo 10
Calculando os coeficientes e , integramos e multiplicados por ao longo do intervalo de 0 a 30 e normalizamos.
Passo 11
Após encontrar os coeficientes, substituímos de volta na série para obter a solução completa .
Resposta
A solução para o problema é:
onde os coeficientes e são determinados pelas condições iniciais e através das séries de Fourier.