f(x)=l x / 10 se x in[0,10] (30-x) / 20 se x in(10,30]
Comentário: Sejam v uma solução do problema do exercício 2 e w uma solução do problema do exercício 3. Então u=v+w é uma solução para o problema do exercício 4 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma solução para um problema envolvendo uma equação diferencial parcial, conhecida como equação da onda. Vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier e separação de variáveis para resolver isso. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
utt = 4 uxx
Isso descreve como a função muda no tempo e no espaço. A equação da onda geralmente modela vibrações ou ondas, como uma corda vibrando.
Passo 3
As condições de contorno são:
u(0, t) = u(30, t) = 0 para todo t > 0
Isso significa que nas extremidades e , a função é sempre zero. Imagina uma corda fixa em dois pontos.
Passo 4
As condições iniciais fornecem o estado da corda no tempo u(x, 0) = f(x) e ut(x, 0) = x^2 - 30x para todo x in [0,30] :
Aqui, descreve a forma inicial da corda, e descreve a velocidade inicial com que a corda está se movendo.
Passo 5
A função f(x) = x10 & se x in [0,10] 30 - x20 & se x in (10,30] está definida por partes:
Isso define como a corda está inicialmente posicionada.
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos usar a separação de variáveis e expandir e em séries de senos, já que as condições de contorno são zero nas extremidades.