Dada a função f(x, y)=z, com z=arctan (x^2+y^2).
Determine:
(a) partial zpartial x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma função de duas variáveis, , onde . Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais, a regra da cadeia e a derivada da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a nos mostra como muda quando apenas varia, mantendo constante.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a derivada da função arco-tangente. Sabemos que:
ddu arctan(u) = 11 + u^2
No nosso caso, , então precisamos usar a regra da cadeia para derivar em relação a .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial x = ddu arctan(u) cdot partial upartial x
Substituindo partial upartial x = 2x , temos:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada parcial:
partial zpartial x = 11 + (x^2 + y^2)^2 cdot 2x

Resposta

A derivada parcial de partial zpartial x = 2x1 + (x^2 + y^2)^2 em relação a é:

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