Determine uma solução para o problema
l ut t=4 ux x em R=(x, t) in R^2 mid x in(0,30) e t>0 u(0, t)=u(30, t)=0 para todo t>0 u(x, 0)=0 para todo x in[0,30] ut(x, 0)=x^2-30 x para todo x in[0,30]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo uma equação diferencial parcial, mais especificamente a equação das ondas. Basicamente, queremos encontrar a função que descreve como uma onda se comporta ao longo do tempo e do espaço no intervalo de de 0 a 30. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: . Isso é a equação das ondas, onde é a segunda derivada de em relação ao tempo e é a segunda derivada em relação ao espaço . O número 4 está relacionado à velocidade da onda.

Passo 3

As condições de contorno nos dizem que nas extremidades e , a função é sempre zero, ou seja, . Isso significa que estamos lidando com ondas fixas nessas pontas.

Passo 4

As condições iniciais dizem que, no tempo , a posição da onda é zero em todo o intervalo (ou seja, ) e a velocidade inicial da onda é . Isso nos dá informações sobre como a onda começa a se mover.

Passo 5

Para resolver, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma soma de funções sinusoidais (séries de Fourier). Ou seja:
u(x, t) = sumn=1^infty [An cos(omegan t) + Bn sin(omegan t)] sin(npi x30)
Aqui, são as frequências naturais da onda no intervalo dado.

Passo 6

Como a condição inicial 0 = sumn=1^infty An sin(npi x30) nos dá:
Isso implica que todos os .

Passo 7

Agora, usando a condição inicial para a velocidade x^2 - 30x = sumn=1^infty Bn omegan sin(npi x30) , temos:
Para encontrar os coeficientes , multiplicamos ambos os lados por e integramos de 0 a 30.

Passo 8

Depois de calcular as integrais, encontramos que:
Bn = 230 cdot 1omegan integral0^30 (x^2 - 30x) sin(npi x30) dx
Essas integrais vão nos dar os valores específicos de cada .

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores encontrados de de volta na expressão da série para obter a solução completa .

Resposta

A solução para o problema é:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi15 t) sin(npi x30)
onde os coeficientes Bn = 115 integral0^30 (x^2 - 30x) sin(npi x30) dx são calculados por:

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