Determine uma solução para o problema

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo uma equação diferencial parcial, mais especificamente a equação das ondas. Basicamente, queremos encontrar a função que descreve como uma onda se comporta ao longo do tempo e do espaço no intervalo de de 0 a 30. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: . Isso é a equação das ondas, onde é a segunda derivada de em relação ao tempo e é a segunda derivada em relação ao espaço . O número 4 está relacionado à velocidade da onda.

Passo 3

As condições de contorno nos dizem que nas extremidades e , a função é sempre zero, ou seja, . Isso significa que estamos lidando com ondas fixas nessas pontas.

Passo 4

As condições iniciais dizem que, no tempo , a posição da onda é zero em todo o intervalo (ou seja, ) e a velocidade inicial da onda é . Isso nos dá informações sobre como a onda começa a se mover.

Passo 5

Para resolver, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma soma de funções sinusoidais (séries de Fourier). Ou seja:
Aqui, são as frequências naturais da onda no intervalo dado.

Passo 6

Como a condição inicial nos dá:
Isso implica que todos os .

Passo 7

Agora, usando a condição inicial para a velocidade , temos:
Para encontrar os coeficientes , multiplicamos ambos os lados por e integramos de 0 a 30.

Passo 8

Depois de calcular as integrais, encontramos que:
Essas integrais vão nos dar os valores específicos de cada .

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores encontrados de de volta na expressão da série para obter a solução completa .

Resposta

A solução para o problema é:
onde os coeficientes são calculados por:

Exercícios relacionados

Sejam uma constante diferente de zero e , funções contínuas com derivada contínua por partes em . Use separação de variáveis para resolver o problema de valores iniciais e de fronteira
Determine uma solução para o problema
onde
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onde
Comentário: Sejam uma solução do problema do exercício 2 e uma solução do problema do exercício 3. Então é uma solução para o problema do exercício 4 ?
Calcule a integral de linha , onde C é dada pelas equações paramétricas , com