Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo uma equação diferencial parcial, mais especificamente a equação das ondas. Basicamente, queremos encontrar a função que descreve como uma onda se comporta ao longo do tempo e do espaço no intervalo de de 0 a 30. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos: . Isso é a equação das ondas, onde é a segunda derivada de em relação ao tempo e é a segunda derivada em relação ao espaço . O número 4 está relacionado à velocidade da onda.
Passo 3
As condições de contorno nos dizem que nas extremidades e , a função é sempre zero, ou seja, . Isso significa que estamos lidando com ondas fixas nessas pontas.
Passo 4
As condições iniciais dizem que, no tempo , a posição da onda é zero em todo o intervalo (ou seja, ) e a velocidade inicial da onda é . Isso nos dá informações sobre como a onda começa a se mover.
Passo 5
Para resolver, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma soma de funções sinusoidais (séries de Fourier). Ou seja:
Aqui, são as frequências naturais da onda no intervalo dado.
Passo 6
Como a condição inicial nos dá:
Isso implica que todos os .
Passo 7
Agora, usando a condição inicial para a velocidade , temos:
Para encontrar os coeficientes , multiplicamos ambos os lados por e integramos de 0 a 30.
Passo 8
Depois de calcular as integrais, encontramos que:
Essas integrais vão nos dar os valores específicos de cada .
Passo 9
Finalmente, substituímos os valores encontrados de de volta na expressão da série para obter a solução completa .