Dada a função f(x, y)=z, com z=arctan (x^2+y^2).
Determine:
© partial zpartial y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada parcial de em relação a , dado que . Este exercício envolve o estudo de derivadas parciais em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a , representada por , mede como muda quando apenas varia, mantendo constante.

Passo 3

Sabemos que , onde . Para encontrar , vamos usar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos:
partial zpartial y = ddu arctan(u) cdot partial upartial y
Primeiro, vamos derivar em relação a .

Passo 5

A derivada de ddu arctan(u) = 11 + u^2 em relação a é:

Passo 6

Agora, derivamos partial upartial y = 2y em relação a :

Passo 7

Substituindo as derivadas encontradas na regra da cadeia:
partial zpartial y = 11 + u^2 cdot 2y
E lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Portanto, a derivada parcial fica:
partial zpartial y = 2y1 + (x^2 + y^2)^2

Resposta

partial zpartial y = 2y1 + (x^2 + y^2)^2

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