Decida sobre a convergência das séries, justificando:
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita que começa no termo
e vai até o infinito. A série é
. O nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou não. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada por causa do termo
, que alterna o sinal dos termos da série. Em séries alternadas, a gente costuma usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos absolutos da série diminuem monotonamente e tendem a zero, então a série converge.
Passo 3
Vamos analisar os termos da série:
. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
. Além disso, o logaritmo duplo
cresce sem limites conforme
aumenta, então
vai oscilar entre -1 e 1 indefinidamente.
Passo 4
Para que o Teste da Série Alternada seja aplicado, além de os termos alternarem de sinal, precisamos que o limite dos termos absolutos seja zero. Ou seja, precisamos que
. Mas como vimos,
continua oscilando e não se aproxima de zero. Portanto, essa condição não é satisfeita.
Passo 5
Como os termos
não tendem a zero, mesmo que estejam alternando de sinal, o Teste da Série Alternada não garante a convergência. Na verdade, se os termos não tendem a zero, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.
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Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
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