Decida sobre a convergência das séries, justificando: .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita que começa no termo e vai até o infinito. A série é . O nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou não. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série alternada por causa do termo , que alterna o sinal dos termos da série. Em séries alternadas, a gente costuma usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos absolutos da série diminuem monotonamente e tendem a zero, então a série converge.

Passo 3

Vamos analisar os termos da série: . Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Além disso, o logaritmo duplo cresce sem limites conforme aumenta, então vai oscilar entre -1 e 1 indefinidamente.

Passo 4

Para que o Teste da Série Alternada seja aplicado, além de os termos alternarem de sinal, precisamos que o limite dos termos absolutos seja zero. Ou seja, precisamos que . Mas como vimos, continua oscilando e não se aproxima de zero. Portanto, essa condição não é satisfeita.

Passo 5

Como os termos não tendem a zero, mesmo que estejam alternando de sinal, o Teste da Série Alternada não garante a convergência. Na verdade, se os termos não tendem a zero, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial .
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