Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é uma curva definida pela função vetorial
. O campo vetorial
é dado por
e a curva
é parametrizada por
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha para campos vetoriais e usar parametrizações de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de linha
, quando temos a curva parametrizada por
, podemos reescrever a integral em termos de
. A fórmula fica:
Aqui,
é a derivada da função vetorial
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituímos
,
e
na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Com
e
calculados, vamos fazer o produto escalar entre eles:
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral e calculamos de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral torna-se:
Passo 7
Agora, avaliamos a expressão entre 0 e 1:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O valor da integral de linha é
.