Calcule a integral de linha integralC F d r, onde C é dada pela função vetorial r(t). F(x, y, z)=(x+y) i+(y-z) j+z^2 k, r(t)=t^2 i+t^3 j+t^2 k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha , onde é uma curva definida pela função vetorial . O campo vetorial é dado por e a curva é parametrizada por para . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha para campos vetoriais e usar parametrizações de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de linha integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt , quando temos a curva parametrizada por , podemos reescrever a integral em termos de . A fórmula fica:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a .

Passo 3

Vamos calcular F(r(t)) = (t^2 + t^3) i + (t^3 - t^2) j + (t^2)^2 k = (t^2 + t^3) i + (t^3 - t^2) j + t^4 k . Substituímos , e na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada r(t) = t^2 i + t^3 j + t^2 k :
r'(t) = 2t i + 3t^2 j + 2t k
Derivando em relação a :

Passo 5

Com F(r(t)) cdot r'(t) = (t^2 + t^3)(2t) + (t^3 - t^2)(3t^2) + t^4(2t) e (t^2 + t^3)(2t) = 2t^3 + 2t^4 calculados, vamos fazer o produto escalar entre eles:
(t^3 - t^2)(3t^2) = 3t^5 - 3t^4
Vamos simplificar cada termo:
t^4(2t) = 2t^5
2t^3 + 2t^4 + 3t^5 - 3t^4 + 2t^5 = 2t^3 - t^4 + 5t^5
Somando tudo:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral e calculamos de integral0^1 (2t^3 - t^4 + 5t^5) , dt a integral 2t^3 , dt = 24 t^4 = 12 t^4 :
integral -t^4 , dt = -15 t^5
Vamos integrar termo a termo:
integral 5t^5 , dt = 56 t^6
[ 12 t^4 - 15 t^5 + 56 t^6 ]0^1
Então, a integral torna-se:

Passo 7

Agora, avaliamos a expressão entre 0 e 1:
( 12(1)^4 - 15(1)^5 + 56(1)^6 ) - ( 12(0)^4 - 15(0)^5 + 56(0)^6 ) = 12 - 15 + 56
Calculando os valores:
12 = 1530, 15 = 630, 56 = 2530
Então:
1530 - 630 + 2530 = 3430 = 1715

Resposta

O valor da integral de linha é .

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