Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial . .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha , onde é uma curva definida pela função vetorial . O campo vetorial é dado por e a curva é parametrizada por para . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha para campos vetoriais e usar parametrizações de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular uma integral de linha , quando temos a curva parametrizada por , podemos reescrever a integral em termos de . A fórmula fica:
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . Substituímos , e na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada :
Derivando em relação a :

Passo 5

Com e calculados, vamos fazer o produto escalar entre eles:
Vamos simplificar cada termo:
Somando tudo:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral e calculamos de a :
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral torna-se:

Passo 7

Agora, avaliamos a expressão entre 0 e 1:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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