(a) Qual velocidade atinge, na parte mais baixa do movimento, um ioiô com raio de 4,0 cm, eixo menor de raio 1,0 cm e barbante de 1,2 m que é solto verticalmente? Desconsidere a contribuição do eixo menor ao momento de inércia. (b) Quanto tempo o ioiô demorará para descer?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre ioiô que envolve física de movimento rotacional. Precisamos calcular duas coisas: a velocidade que o ioiô atinge na parte mais baixa do movimento e o tempo que ele leva para descer completamente. Para isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e cinemática rotacional. Vamos precisar entender como o momento de inércia funciona e como a energia se transforma nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: qual a velocidade do ioiô na parte mais baixa. Para isso, vamos usar a conservação da energia mecânica. A ideia é que a energia potencial gravitacional do ioiô no ponto mais alto se transforma em energia cinética de translação e rotação quando ele chega na parte mais baixa.
A energia potencial inicial é dada por:
Ep = mgh
onde:
  • Ek = 12mv^2 + 12Iomega^2 é a massa do ioiô,
  • v = omega r é a aceleração da gravidade ( I = mr^2 ),
  • mgh = 12mv^2 + 12I(vr)^2 é a altura, que nesse caso é o comprimento do barbante ( ).
A energia cinética final é a soma da energia de translação e da energia de rotação:
onde:
  • é a velocidade linear do ioiô,
  • é o momento de inércia,
  • é a velocidade angular.
Como o barbante está enrolado no raio principal ( ), temos que:
Então, podemos substituir por na equação da energia cinética.
O momento de inércia de um ioiô é dado por:
Mas, conforme o enunciado, vamos desconsiderar a contribuição do eixo menor.
Agora, igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:

Passo 3

Vamos simplificar a equação. Primeiro, substituímos mgh = 12mv^2 + 12mr^2(vr)^2 :
mgh = 12mv^2 + 12mv^2
Simplificando:
mgh = mv^2
gh = v^2
Dividindo ambos os lados por v = raizgh :
v = raiz9,8 times 1,2
Agora, isolamos v = raiz11,76 :
v approx 3,43 , m/s
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): quanto tempo o ioiô demora para descer. Para isso, usamos a cinemática, considerando que o ioiô está acelerando devido à gravidade, mas a rotação reduz um pouco essa aceleração.
A aceleração a = g1 + Imr^2 pode ser encontrada usando a relação:
a = g1 + 1 = g2
Como já temos a = 9,82 = 4,9 , m/s^2 :
h = 12at^2
t = raiz2ha
Agora, usamos a equação do movimento uniformemente acelerado:
t = raiz2 times 1,24,9
Isolando t = raiz2,44,9 :
t = raiz0,49
Substituindo os valores:
t = 0,7 , segundos

Resposta

(a) A velocidade do ioiô na parte mais baixa é aproximadamente .
(b) O ioiô demora cerca de para descer completamente.

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