(a) Qual velocidade atinge, na parte mais baixa do movimento, um ioiô com raio de
, eixo menor de raio
e barbante de
que é solto verticalmente? Desconsidere a contribuição do eixo menor ao momento de inércia. (b) Quanto tempo o ioiô demorará para descer?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre ioiô que envolve física de movimento rotacional. Precisamos calcular duas coisas: a velocidade que o ioiô atinge na parte mais baixa do movimento e o tempo que ele leva para descer completamente. Para isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e cinemática rotacional. Vamos precisar entender como o momento de inércia funciona e como a energia se transforma nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício: qual a velocidade do ioiô na parte mais baixa. Para isso, vamos usar a conservação da energia mecânica. A ideia é que a energia potencial gravitacional do ioiô no ponto mais alto se transforma em energia cinética de translação e rotação quando ele chega na parte mais baixa.
A energia potencial inicial é dada por:
onde:
-
é a massa do ioiô, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura, que nesse caso é o comprimento do barbante ( ).
A energia cinética final é a soma da energia de translação e da energia de rotação:
onde:
-
é a velocidade linear do ioiô, -
é o momento de inércia, -
é a velocidade angular.
Como o barbante está enrolado no raio principal (
), temos que:
Então, podemos substituir
por
na equação da energia cinética.
O momento de inércia de um ioiô é dado por:
Mas, conforme o enunciado, vamos desconsiderar a contribuição do eixo menor.
Agora, igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:
Passo 3
Vamos simplificar a equação. Primeiro, substituímos
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): quanto tempo o ioiô demora para descer. Para isso, usamos a cinemática, considerando que o ioiô está acelerando devido à gravidade, mas a rotação reduz um pouco essa aceleração.
A aceleração
pode ser encontrada usando a relação:
Como já temos
:
Agora, usamos a equação do movimento uniformemente acelerado:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Resposta
(a) A velocidade do ioiô na parte mais baixa é aproximadamente
.
(b) O ioiô demora cerca de
para descer completamente.
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, onde
é dada pela função vetorial
.
.
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