Considere um carro de massa total igual a 950 kg andando a com relação à estrada. O carro tem pneus de diâmetro de 60 cm e de massa igual a 15 kg, que rolam sem derrapar. (a) Qual é o módulo da velocidade angular de rotação das rodas? (b) A qualquer instante, qual é a velocidade linear (de translação) do ponto mais alto do pneu? © No referencial da estrada, qual é a energia cinética do carro? (d) Qual é a fração de energia cinética do carro devido à rotação dos pneus?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um carro que está se movendo e precisamos resolver quatro partes diferentes relacionadas ao movimento dele. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e energia cinética. Para isso, vamos precisar saber sobre velocidade angular, velocidades em pontos específicos das rodas, como calcular a energia cinética total do carro, e a parte dessa energia que vem da rotação dos pneus.

Passo 2

Parte (a): Qual é o módulo da velocidade angular de rotação das rodas?
Primeiro, precisamos relacionar a velocidade linear do carro com a velocidade angular das rodas. A velocidade linear está ligada à velocidade angular e ao raio da roda pela fórmula:
Sabendo que o diâmetro da roda é 60 cm, o raio é 30 cm ou 0,3 metros. A velocidade do carro é 90 km/h, que vamos converter para metros por segundo:
Agora, rearranjamos a fórmula para achar :

Passo 3

Parte (b): A qualquer instante, qual é a velocidade linear (de translação) do ponto mais alto do pneu?
O ponto mais alto do pneu tem duas velocidades: uma pela translação do carro e outra pela rotação da roda. A velocidade total é a soma dessas duas:
Já sabemos que e . Então:

Passo 4

Parte ©: No referencial da estrada, qual é a energia cinética do carro?
A energia cinética total do carro inclui a energia de translação do corpo principal e a energia de rotação das rodas. A fórmula geral é:
é
Aqui, , , e cada roda tem massa . Assumindo que as rodas são discos sólidos, o momento de inércia é:
Então, substituindo:
é
Calculando cada parte:
çã
çã
Total:
é

Passo 5

Parte (d): Qual é a fração de energia cinética do carro devido à rotação dos pneus?
Queremos saber que parte da energia total vem da rotação das rodas. Usamos a relação:
çãçãé
Já temos:
çã
é
Então:
çã

Resposta

(a) A velocidade angular das rodas é aproximadamente .
(b) A velocidade linear do ponto mais alto do pneu é .
© A energia cinética total do carro é aproximadamente .
(d) A fração da energia cinética devido à rotação dos pneus é cerca de .

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Calcule a integral de linha , onde é dada pela função vetorial . .