A Terra gira mais devagar conforme o tempo passa. Atualmente, o dia fica mais longo em torno de por século. Vamos supor aceleração angular constante. (a) Qual é a aceleração angular neste caso? (b) Quanto tempo levará para que o dia tenha 25 horas? © Qual é a aceleração tangencial sentida por alguém no equador devido a esta desaceleração?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A Terra está girando mais devagar com o passar do tempo, fazendo com que cada dia fique um pouquinho mais longo. Atualmente, a duração do dia aumenta em cerca de 2,0 milissegundos (ms) por século. Queremos calcular três coisas aqui:
a) A aceleração angular responsável por essa desaceleração.
b) Quanto tempo vai demorar para que um dia dure 25 horas.
c) A aceleração tangencial que uma pessoa no equador sente devido a essa desaceleração.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente aceleração angular e sua relação com o tempo e a velocidade angular. Vamos precisar lembrar das fórmulas que relacionam aceleração angular, variação de velocidade angular e tempo.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): calcular a aceleração angular.
Primeiro, precisamos entender a relação entre a mudança na duração do dia e a velocidade angular da Terra. A velocidade angular ( ) está relacionada ao período ( ) do giro da Terra pela fórmula:
Como o dia está ficando mais longo, o período está aumentando. A mudança no período ( ) por tempo ( ) nos dá a variação da velocidade angular ( ).
A aceleração angular ( ) é definida como a variação da velocidade angular ao longo do tempo:
Sabemos que a cada século (100 anos), o dia aumenta 2,0 ms, ou seja, segundos por 100 anos. Vamos converter os 100 anos para segundos para manter as unidades consistentes.
Sabendo que 1 ano tem aproximadamente segundos, 100 anos têm:
Agora, vamos relacionar com :
A aproximação usa o fato de que é muito pequeno em relação a .
Substituindo na fórmula da aceleração angular:
Sabemos que o período atual é de 24 horas, ou seja, segundos.
Substituindo todos os valores:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): quanto tempo levará para que o dia tenha 25 horas.
Queremos saber em quanto tempo o período aumenta de 24 horas ( segundos) para 25 horas ( segundos). Ou seja, segundos.
Sabendo que a aceleração angular é constante, podemos usar a equação:
Rearranjando para encontrar :
Substituindo os valores (lembre-se que é negativo, mas vamos considerar o módulo):
Convertendo para anos:
Então, levará aproximadamente 437 mil anos para que o dia chegue a 25 horas.

Passo 4

Por fim, a parte c): calcular a aceleração tangencial sentida por alguém no equador devido a essa desaceleração.
A aceleração tangencial ( ) está relacionada à aceleração angular ( ) e ao raio da Terra ( ) pela fórmula:
Sabemos que o raio da Terra é aproximadamente metros.
Substituindo os valores:

Resposta

a) A aceleração angular é aproximadamente .
b) Levará cerca de anos para que o dia tenha 25 horas.
c) A aceleração tangencial sentida por alguém no equador é aproximadamente .

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