Uma partícula de massa 1,50 kg está em movimento circular de raio 20,0 cm com aceleração angular constante de -2,0 rad / s^2. A velocidade angular inicial é de 12,0 rad/s e a posição angular inicial é 3,0 rad. (a) Há algum instante em que a partícula estará parada? Qual? (b) Qual é a velocidade angular da partícula como função do tempo? © Há algum instante em que a partícula estará na posição 0? Qual? (d) Qual é a posição angular da partícula em função do tempo?

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa 1,50 kg que está se movendo em um círculo com raio de 20,0 cm. Ela está acelerando angularmente com uma aceleração constante de -2,0 rad/s². A velocidade angular inicial é de 12,0 rad/s e a posição angular inicial é de 3,0 rad. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional para resolver as perguntas.

Passo 2

Para a parte (a), queremos saber se há um instante em que a partícula para. Isso significa que a velocidade angular será zero nesse instante. A velocidade angular depende do tempo e da aceleração angular, então vamos usar a fórmula da velocidade angular:
omega(t) = omega0 + alpha t
Onde:
  • é a velocidade angular no tempo ,
  • é a velocidade angular inicial,
  • é a aceleração angular.

Passo 3

Vamos colocar os valores conhecidos na fórmula para encontrar o tempo 0 = 12,0 , rad/s + (-2,0 , rad/s²) times t quando a velocidade angular será zero:
2,0 , rad/s² times t = 12,0 , rad/s ²
Resolvendo para t = 12,02,0 = 6,0 , s :
²

Passo 4

Portanto, a partícula estará parada no instante segundos.

Passo 5

Para a parte (b), queremos a velocidade angular da partícula em função do tempo. Já usamos a fórmula na parte (a), que é:
omega(t) = omega0 + alpha t
Substituindo os valores:
omega(t) = 12,0 , rad/s - 2,0 , rad/s² times t ²

Passo 6

Então, a velocidade angular em função do tempo é:
omega(t) = 12,0 - 2,0t rad/s

Passo 7

Para a parte ©, queremos saber se a partícula alcança a posição angular zero em algum instante. Vamos usar a fórmula da posição angular:
theta(t) = theta0 + omega0 t + 12 alpha t² ²
Onde:
  • é a posição angular no tempo ,
  • é a posição angular inicial.

Passo 8

Queremos encontrar o tempo 0 = 3,0 + 12,0t - 12 times 2,0 times t² quando 0 = 3,0 + 12,0t - t² :
t² - 12,0t - 3,0 = 0 ²
²
Rearranjando:
²

Passo 9

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula:
t = 12,0 pm raiz(12,0)^2 + 122
t = 12,0 pm raiz144 + 122
t = 12,0 pm raiz1562
t approx 12,0 pm 12,492
Temos duas soluções possíveis:
t approx 24,492 approx 12,245 , s
t approx -0,492 approx -0,245 , s
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos essa solução.

Passo 10

Portanto, a partícula estará na posição angular zero no instante segundos.

Passo 11

Para a parte (d), queremos a posição angular da partícula em função do tempo. Usamos a fórmula que já mencionamos:
theta(t) = theta0 + omega0 t + 12 alpha t² ²
Substituindo os valores:
theta(t) = 3,0 + 12,0t - 12 times 2,0 times t² ²
theta(t) = 3,0 + 12,0t - t² ²

Resposta

(a) A partícula estará parada no instante segundos.
(b) A velocidade angular em função do tempo é rad/s.
© A partícula estará na posição angular zero no instante segundos.
(d) A posição angular em função do tempo é ².

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