Calcule a integral de linha :
é o segmento entre e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde a função é e é o segmento de reta que vai do ponto até . Aqui, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como parametrizar uma curva e calcular integrais ao longo dela.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta . Como é um segmento de reta entre dois pontos, podemos usar uma parametrização linear. Vamos chamar a variável do parâmetro de , que varia de 0 a 1.
A fórmula geral para parametrizar uma reta entre dois pontos e é:
Aplicando isso aos nossos pontos e :
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva . Para isso, calculamos a derivada de em relação a e depois seu módulo.
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, substituímos e na função para obter em termos de :
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, montamos a integral usando tudo que calculamos:
Vamos fatorar o constante:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:

Passo 7

Multiplicamos pelo constante que fatoramos antes:

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Sejam e funções contínuas em um intervalo aberto , e sejam e duas soluções da equação diferencial .
Prove que, se e têm um ponto de inflexão comum em e , então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Calcule a integral de linha :
é o scgmento entre e
Calcule a integral de linha :
é um quarto da circunferência entre e