Calcule a integral de linha integralC f d s :
f(x, y)=2 x y, C é o segmento entre (1,2) e (-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral integralC f , ds, onde a função é f(x, y) = 2xy e C é o segmento de reta que vai do ponto (1, 2) até (-1, 0). Aqui, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como parametrizar uma curva e calcular integrais ao longo dela.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta C. Como C é um segmento de reta entre dois pontos, podemos usar uma parametrização linear. Vamos chamar a variável do parâmetro de t, que varia de 0 a 1.
A fórmula geral para parametrizar uma reta entre dois pontos P0 (x0, y0) e P1 (x1, y1) é:
r(t) = (1 - t)P0 + tP1
Aplicando isso aos nossos pontos (1, 2) e (-1, 0):
x(t) = (1 - t)(1) + t(-1) = 1 - t - t = 1 - 2t
y(t) = (1 - t)(2) + t(0) = 2 - 2t
Então, temos:
r(t) = (1 - 2t, 2 - 2t), t in [0, 1]

Passo 3

Agora, precisamos encontrar ds, que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva C. Para isso, calculamos a derivada de r(t) em relação a t e depois seu módulo.
Calculando as derivadas:
dxdt = -2
dydt = -2
Então,
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz(-2)^2 + (-2)^2 , dt = raiz4 + 4 , dt = raiz8 , dt = 2raiz2 , dt

Passo 4

Agora, substituímos x(t) e y(t) na função f(x, y) para obter f em termos de t:
f(x(t), y(t)) = 2 cdot (1 - 2t) cdot (2 - 2t) = 2(1 - 2t)(2 - 2t)
Vamos simplificar isso:
2(1 - 2t)(2 - 2t) = 2[(1 cdot 2) + (1 cdot -2t) + (-2t cdot 2) + (-2t cdot -2t)] = 2[2 - 2t - 4t + 4t^2] = 2[2 - 6t + 4t^2] = 4 - 12t + 8t^2

Passo 5

Agora, montamos a integral usando tudo que calculamos:
integralC f , ds = integral0^1 f(x(t), y(t)) cdot ds = integral0^1 (4 - 12t + 8t^2) cdot 2raiz2 , dt
Vamos fatorar o constante:
2raiz2 integral0^1 (4 - 12t + 8t^2) , dt

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 4 , dt = 4t g|0^1 = 4(1) - 4(0) = 4
integral0^1 -12t , dt = -12 cdot t^22 g|0^1 = -6(t^2) g|0^1 = -6(1) + 6(0) = -6
integral0^1 8t^2 , dt = 8 cdot t^33 g|0^1 = 83(t^3) g|0^1 = 83(1) - 83(0) = 83
Somando tudo:
4 - 6 + 83 = -2 + 83 = -6 + 83 = 23

Passo 7

Multiplicamos pelo constante que fatoramos antes:
2raiz2 cdot 23 = 4raiz23

Resposta

A integral de linha integralC f , ds vale dfrac4raiz23.

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