Calcule a integral de linha : é o segmento entre e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde a função é e é o segmento de reta que vai do ponto até . Aqui, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente como parametrizar uma curva e calcular integrais ao longo dela.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a reta . Como é um segmento de reta entre dois pontos, podemos usar uma parametrização linear. Vamos chamar a variável do parâmetro de , que varia de 0 a 1.
A fórmula geral para parametrizar uma reta entre dois pontos e é:
Aplicando isso aos nossos pontos e :
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar , que representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva . Para isso, calculamos a derivada de em relação a e depois seu módulo.
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos e na função para obter em termos de :
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Agora, montamos a integral usando tudo que calculamos: