Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é um tipo de integral usada para somar valores ao longo de um caminho específico no espaço. No caso, a integral que a gente vai calcular é:
Aqui, é uma curva definida pela função vetorial:
Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva , calcular a derivada de , encontrar o comprimento do vetor derivada (que é ) e então montar e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial . Isso significa separar cada coordenada , e :
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação das coordenadas ao longo do tempo, e é calculada separadamente para cada componente:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o módulo de , que é a magnitude do vetor derivada. Isso é importante porque na integral de linha é igual a . A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso :
Passo 5
Agora, vamos substituir , , e na integral original:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da integral. Vamos primeiro simplificar o denominador:
Agora, substituindo de volta na integral:
Podemos simplificar o numerador dividindo por :
Então a integral fica:
Perceba que os termos no numerador e denominador se cancelam: