Calcule as seguintes integrais de linha.
integralC x+yy+z d s, onde C: r(t)=(t, 23 t^3 / 2, t), t in[1,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é um tipo de integral usada para somar valores ao longo de um caminho específico no espaço. No caso, a integral que a gente vai calcular é:
integralC x+yy+z , ds
Aqui, r(t) = (t, 23 t^3/2, t), t in [1, 2] é uma curva definida pela função vetorial:
Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva , calcular a derivada de , encontrar o comprimento do vetor derivada (que é ) e então montar e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial x(t) = t . Isso significa separar cada coordenada y(t) = 23 t^3/2 , z(t) = t e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de r'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) em relação a dxdt = 1 . A derivada dydt = 23 cdot 32 t^1/2 = t^1/2 nos dá a taxa de variação das coordenadas ao longo do tempo, e é calculada separadamente para cada componente:
dzdt = 1
Calculando cada derivada:
r'(t) = (1, t^1/2, 1)
Então,

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o módulo de |r'(t)| = raiza^2 + b^2 + c^2 , que é a magnitude do vetor derivada. Isso é importante porque |r'(t)| = raiz1^2 + (t^1/2)^2 + 1^2 = raiz1 + t + 1 = raizt + 2 na integral de linha é igual a . A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso :

Passo 5

Agora, vamos substituir integralC x+yy+z , ds = integral1^2 t + 23 t^3/223 t^3/2 + t cdot raizt + 2 , dt , , e na integral original:

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral. Vamos primeiro simplificar o denominador:
23 t^3/2 + t = t ( 23 t^1/2 + 1 )
Agora, substituindo de volta na integral:
integral1^2 t + 23 t^3/2t ( 23 t^1/2 + 1 ) cdot raizt + 2 , dt
Podemos simplificar o numerador dividindo por t + 23 t^3/2t = 1 + 23 t^1/2 :
integral1^2 1 + 23 t^1/223 t^1/2 + 1 cdot raizt + 2 , dt
Então a integral fica:
1 + 23 t^1/223 t^1/2 + 1 = 1
Perceba que os termos no numerador e denominador se cancelam:
integral1^2 raizt + 2 , dt
Então a integral simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
integral raizt + 2 , dt
Para integrar u = t + 2 implies du = dt , usamos a substituição:
integral raizu , du = 23 u^3/2 + C = 23 (t + 2)^3/2 + C
Então,

Passo 8

Aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
23 (t + 2)^3/2 |1^2 = 23 ( (2 + 2)^3/2 - (1 + 2)^3/2 )
Calculando os valores:
(4)^3/2 = (2^2)^3/2 = 2^3 = 8
(3)^3/2 = 3 raiz3
Então,
23 (8 - 3 raiz3)

Resposta

A integral de linha vale:
23 (8 - 3 raiz3) = 163 - 2 raiz3

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