Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é um tipo de integral usada para somar valores ao longo de um caminho específico no espaço. No caso, a integral que a gente vai calcular é:
Aqui, é uma curva definida pela função vetorial:
Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva , calcular a derivada de , encontrar o comprimento do vetor derivada (que é ) e então montar e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial . Isso significa separar cada coordenada , e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação das coordenadas ao longo do tempo, e é calculada separadamente para cada componente:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o módulo de , que é a magnitude do vetor derivada. Isso é importante porque na integral de linha é igual a . A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso :

Passo 5

Agora, vamos substituir , , e na integral original:

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral. Vamos primeiro simplificar o denominador:
Agora, substituindo de volta na integral:
Podemos simplificar o numerador dividindo por :
Então a integral fica:
Perceba que os termos no numerador e denominador se cancelam:
Então a integral simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Para integrar , usamos a substituição:
Então,

Passo 8

Aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Calculando os valores:
Então,

Resposta

A integral de linha vale:

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Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Sejam e funções contínuas em um intervalo aberto , e sejam e duas soluções da equação diferencial .
Prove que, se e têm um ponto de inflexão comum em e , então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Calcule a integral de linha :
é o segmento entre e