Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é um tipo de integral usada para somar valores ao longo de um caminho específico no espaço. No caso, a integral que a gente vai calcular é:
Aqui,
é uma curva definida pela função vetorial:
Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva
, calcular a derivada de
, encontrar o comprimento do vetor derivada (que é
) e então montar e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial
. Isso significa separar cada coordenada
,
e
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. A derivada
nos dá a taxa de variação das coordenadas ao longo do tempo, e é calculada separadamente para cada componente:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o módulo de
, que é a magnitude do vetor derivada. Isso é importante porque
na integral de linha é igual a
. A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da integral. Vamos primeiro simplificar o denominador:
Agora, substituindo de volta na integral:
Podemos simplificar o numerador dividindo por
:
Então a integral fica:
Perceba que os termos no numerador e denominador se cancelam:
Então a integral simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Para integrar
, usamos a substituição:
Então,
Passo 8
Aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Calculando os valores:
Então,
Resposta
A integral de linha vale: