Sejam e funções contínuas em um intervalo aberto , e sejam e duas soluções da equação diferencial .
Prove que, se e têm um ponto de inflexão comum em e , então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.

Passo 1

Então, temos um exercício que envolve equações diferenciais. A questão nos dá duas funções contínuas, e , definidas em um intervalo aberto . Além disso, temos duas soluções e para a equação diferencial . O problema quer que a gente prove que, se e têm um ponto de inflexão comum em e a derivada de nesse ponto não é zero, então essas soluções não podem formar um conjunto fundamental de soluções no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como pontos de inflexão, conjuntos fundamentais de soluções e a dependência linear entre funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão de uma função é onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada passa de positiva para negativa ou vice-versa. Matemáticamente, isso ocorre onde .

Passo 3

Sabemos que e são soluções da equação diferencial dada. Isso significa que elas satisfazem a equação para todo no intervalo .

Passo 4

Como e têm um ponto de inflexão comum em , temos:

Passo 5

Vamos reescrever a equação diferencial para e em :
Como , isso simplifica para:

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações lineares:

Podemos escrever isso em forma matricial:
[


]

Passo 7

Para que esse sistema tenha soluções não triviais (ou seja, e não sejam todas zero), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Vamos calcular o determinante:
Isso confirma que há soluções não triviais, indicando que e são linearmente dependentes nesse ponto.

Passo 8

Como e são linearmente dependentes em , elas não são soluções linearmente independentes no intervalo . Um conjunto fundamental de soluções exige que as soluções sejam linearmente independentes em todo o intervalo.

Passo 9

Além disso, considerando que , isso reforça que a dependência linear ocorre devido à variação de no ponto , impedindo que e formem um conjunto fundamental.

Resposta

Portanto, se e têm um ponto de inflexão comum em e , elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.

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Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Calcule a integral de linha :
é o segmento entre e
Calcule a integral de linha :
é o scgmento entre e