Sejam
e
funções contínuas em um intervalo aberto
, e sejam
e
duas soluções da equação diferencial
.
Prove que, se
e
têm um ponto de inflexão comum
em
e
, então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Prove que, se
Passo 1
Então, temos um exercício que envolve equações diferenciais. A questão nos dá duas funções contínuas,
e
, definidas em um intervalo aberto
. Além disso, temos duas soluções
e
para a equação diferencial
. O problema quer que a gente prove que, se
e
têm um ponto de inflexão comum
em
e a derivada de
nesse ponto
não é zero, então essas soluções não podem formar um conjunto fundamental de soluções no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como pontos de inflexão, conjuntos fundamentais de soluções e a dependência linear entre funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de inflexão. Um ponto de inflexão de uma função é onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada passa de positiva para negativa ou vice-versa. Matemáticamente, isso ocorre onde
.
Passo 3
Sabemos que
e
são soluções da equação diferencial dada. Isso significa que elas satisfazem a equação
para todo
no intervalo
.
Passo 4
Como
e
têm um ponto de inflexão comum em
, temos:
Passo 5
Vamos reescrever a equação diferencial para
e
em
:
Como
, isso simplifica para:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Podemos escrever isso em forma matricial:
[
]
Passo 7
Para que esse sistema tenha soluções não triviais (ou seja,
e
não sejam todas zero), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Vamos calcular o determinante:
Isso confirma que há soluções não triviais, indicando que
e
são linearmente dependentes nesse ponto.
Passo 8
Como
e
são linearmente dependentes em
, elas não são soluções linearmente independentes no intervalo
. Um conjunto fundamental de soluções exige que as soluções sejam linearmente independentes em todo o intervalo.
Passo 9
Além disso, considerando que
, isso reforça que a dependência linear ocorre devido à variação de
no ponto
, impedindo que
e
formem um conjunto fundamental.
Resposta
Portanto, se
e
têm um ponto de inflexão comum
em
e
, elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Calcule a integral de linha
:
é o segmento entre
e
Calcule a integral de linha
:
é o scgmento entre
e