Calcule a integral de linha integralC f d s :
f(x, y, z)=x z, C é o scgmento entre (2,1,0) e (2,0,2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha integralC f ds, onde a função f(x, y, z) é x cdot z, e o caminho C é o segmento de reta que vai do ponto (2,1,0) até o ponto (2,0,2). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiramente, vamos parametrizar o caminho C. Como C é um segmento de reta entre dois pontos, podemos usar uma parametrização linear. Vamos chamar o parâmetro de t, onde t varia de 0 a 1.
As coordenadas dos pontos inicial e final são:
  • Ponto inicial: (2, 1, 0)
  • Ponto final: (2, 0, 2)
A parametrização será:
x(t) = 2
y(t) = 1 - t
z(t) = 0 + 2t = 2t
para t in [0, 1].

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de arco ds. Em parametrizações, ds pode ser expresso como a magnitude do vetor velocidade multiplicado por dt.
As derivadas das coordenadas em relação a t são:
dxdt = 0
dydt = -1
dzdt = 2
Então, o vetor velocidade é (0, -1, 2), e sua magnitude é:
| v(t) | = raiz0^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz0 + 1 + 4 = raiz5
Portanto, ds = raiz5 , dt.

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função f(x, y, z):
f(x(t), y(t), z(t)) = x(t) cdot z(t) = 2 cdot 2t = 4t

Passo 5

Com tudo isso, podemos montar a integral:
integralC f , ds = integral0^1 f(x(t), y(t), z(t)) cdot ds = integral0^1 4t cdot raiz5 , dt = raiz5 integral0^1 4t , dt

Passo 6

Vamos resolver a integral:
raiz5 integral0^1 4t , dt = raiz5 [ 2t^2 ]0^1 = raiz5 (2 cdot 1^2 - 2 cdot 0^2) = raiz5 cdot 2 = 2raiz5

Resposta

O valor da integral de linha é 2raiz5.

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