Calcule a integral de linha :
é o scgmento entre e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha , onde a função é , e o caminho é o segmento de reta que vai do ponto até o ponto . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiramente, vamos parametrizar o caminho . Como é um segmento de reta entre dois pontos, podemos usar uma parametrização linear. Vamos chamar o parâmetro de , onde varia de 0 a 1.
As coordenadas dos pontos inicial e final são:
  • Ponto inicial:
  • Ponto final:
A parametrização será:
para .

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial de arco . Em parametrizações, pode ser expresso como a magnitude do vetor velocidade multiplicado por .
As derivadas das coordenadas em relação a são:
Então, o vetor velocidade é , e sua magnitude é:
Portanto, .

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função :

Passo 5

Com tudo isso, podemos montar a integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral:

Resposta

O valor da integral de linha é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha :
é o segmento entre e
Sejam e funções contínuas em um intervalo aberto , e sejam e duas soluções da equação diferencial .
Prove que, se e têm um ponto de inflexão comum em e , então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Calcule a integral de linha :
é um quarto da circunferência entre e
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas: