Calcule a integral de linha
:
é o scgmento entre
e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
, onde a função
é
, e o caminho
é o segmento de reta que vai do ponto
até o ponto
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para resolver isso.
Passo 2
Primeiramente, vamos parametrizar o caminho
. Como
é um segmento de reta entre dois pontos, podemos usar uma parametrização linear. Vamos chamar o parâmetro de
, onde
varia de 0 a 1.
As coordenadas dos pontos inicial e final são:
- Ponto inicial:
- Ponto final:
A parametrização será:
para
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o diferencial de arco
. Em parametrizações,
pode ser expresso como a magnitude do vetor velocidade multiplicado por
.
As derivadas das coordenadas em relação a
são:
Então, o vetor velocidade é
, e sua magnitude é:
Portanto,
.
Passo 4
Agora, substituímos a parametrização na função
:
Passo 5
Com tudo isso, podemos montar a integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Resposta
O valor da integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
:
é o segmento entre
e
Sejam
e
funções contínuas em um intervalo aberto
, e sejam
e
duas soluções da equação diferencial
.
Prove que, se e
têm um ponto de inflexão comum
em
e
, então não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Prove que, se
Calcule a integral de linha
:
é um quarto da circunferência
entre
e
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas: