Calcule a integral de linha :
é um quarto da circunferência entre e

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde . A curva é um quarto de circunferência definido por , indo do ponto até . Vamos precisar parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é um quarto de circunferência com raio 3, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir o ângulo variando de (que corresponde ao ponto ) até 0 (que corresponde ao ponto ). Assim, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada das funções e em relação a , que nos dá os componentes da velocidade da curva:

Passo 4

A próxima etapa é encontrar o elemento de arco , que é dado por:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Agora, substituímos e na função :

Passo 6

A integral de linha fica então:
Note que trocamos os limites de integração para manter o sentido positivo da integral.

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Integrando:

Resposta

A integral de linha vale 18.

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Calcule a integral de linha :
é o scgmento entre e
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é o segmento entre e
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais: