Calcule a integral de linha
:
é um quarto da circunferência
entre
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
, onde
. A curva
é um quarto de circunferência definido por
, indo do ponto
até
. Vamos precisar parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é um quarto de circunferência com raio 3, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir o ângulo
variando de
(que corresponde ao ponto
) até 0 (que corresponde ao ponto
). Assim, a parametrização fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada das funções
e
em relação a
, que nos dá os componentes da velocidade da curva:
Passo 4
A próxima etapa é encontrar o elemento de arco
, que é dado por:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na função
:
Passo 6
A integral de linha fica então:
Note que trocamos os limites de integração para manter o sentido positivo da integral.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Integrando:
Resposta
A integral de linha
vale 18.
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e
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e
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais: