Calcule a integral de linha integralC f d s :
f(x, y)=3 x-y, C é um quarto da circunferência x^2+y^2=9 entre (0,3) e (3,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde . A curva é um quarto de circunferência definido por , indo do ponto até . Vamos precisar parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(theta) = 3 cos theta . Como y(theta) = 3 sin theta é um quarto de circunferência com raio 3, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir o ângulo variando de (que corresponde ao ponto ) até 0 (que corresponde ao ponto ). Assim, a parametrização fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada das funções dxdtheta = -3 sin theta e dydtheta = 3 cos theta em relação a , que nos dá os componentes da velocidade da curva:

Passo 4

A próxima etapa é encontrar o elemento de arco ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta , que é dado por:
ds = raiz(-3 sin theta)^2 + (3 cos theta)^2 , dtheta = raiz9 sin^2 theta + 9 cos^2 theta , dtheta = raiz9 (sin^2 theta + cos^2 theta) , dtheta = 3 , dtheta
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Agora, substituímos f(x(theta), y(theta)) = 3(3 cos theta) - 3 sin theta = 9 cos theta - 3 sin theta e na função :

Passo 6

A integral de linha fica então:
integralC f , ds = integralpi2^0 (9 cos theta - 3 sin theta) cdot 3 , dtheta = 3 integral0^pi2 (9 cos theta - 3 sin theta) , dtheta
Note que trocamos os limites de integração para manter o sentido positivo da integral.

Passo 7

Vamos calcular a integral:
3 integral0^pi2 9 cos theta , dtheta - 3 integral0^pi2 3 sin theta , dtheta = 27 integral0^pi2 cos theta , dtheta - 9 integral0^pi2 sin theta , dtheta
Integrando:
27 [ sin theta ]0^pi2 - 9 [ -cos theta ]0^pi2 = 27 (1 - 0) - 9 (-0 + 1) = 27 - 9 = 18

Resposta

A integral de linha vale 18.

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