Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar as soluções gerais da equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para o lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes características da equação auxiliar correspondente.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão complexas.

Passo 5

Simplificando as raízes:
Então, as raízes são e .

Passo 6

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e .

Passo 7

Então, a solução homogênea fica:

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
O lado direito é uma combinação de funções seno e cosseno com frequência .

Passo 9

Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 10

Calculando as derivadas de :

Passo 11

Substituindo , e na equação original:

Passo 12

Vamos simplificar os termos:
Multiplicando e combinando os termos:

Passo 13

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para :

Passo 14

Vamos resolver o sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 15

Multiplicando a equação (1) por 4 para eliminar as frações:
Multiplicando a equação (2) por 4:

Passo 16

Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos usar a combinação.

Passo 17

Multiplicando a primeira equação por 99 e a segunda por 12:
Isso resulta em:

Passo 18

Subtraindo a equação (2’’) da equação (1’’):

Passo 19

Agora, substituindo na equação (1):

Passo 20

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha :
é um quarto da circunferência entre e
Calcule a integral de linha :
é o scgmento entre e
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Calcule a integral de linha :
, C é a interseção da esfera com o plano