Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar as soluções gerais da equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para o lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes características da equação auxiliar correspondente.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação homogênea:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas.
Passo 5
Simplificando as raízes:
Então, as raízes são
e
.
Passo 6
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
.
Passo 7
Então, a solução homogênea fica:
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
O lado direito é uma combinação de funções seno e cosseno com frequência
.
Passo 9
Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 10
Calculando as derivadas de
:
Passo 11
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 12
Vamos simplificar os termos:
Multiplicando e combinando os termos:
Passo 13
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Passo 14
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 15
Multiplicando a equação (1) por 4 para eliminar as frações:
Multiplicando a equação (2) por 4:
Passo 16
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vamos usar a combinação.
Passo 17
Multiplicando a primeira equação por 99 e a segunda por 12:
Isso resulta em:
Passo 18
Subtraindo a equação (2’’) da equação (1’’):
Passo 19
Agora, substituindo
na equação (1):
Passo 20
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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, C é a interseção da esfera
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