Calcule a integral de linha integralC f d s, onde C é a curva dada.
g) integralC(x+y) d s, C é o segmento de reta de de (0,0,0) a (1,2,3). Resp.: raiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular a integral integralC (x + y) , ds, onde C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) até (1,2,3). Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar parametrizar a curva C e aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é um segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3), podemos usar uma parametrização linear. Isso significa que vamos expressar as coordenadas x, y e z em função de um parâmetro t, que varia de 0 a 1.
A parametrização fica assim:
r(t) = (0,0,0) + t cdot (1,2,3) = (t, 2t, 3t), para t in [0,1]

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de arco ds. Para isso, vamos encontrar a derivada da parametrização r(t) em relação a t:
r,'(t) = ddt(t, 2t, 3t) = (1, 2, 3)
O diferencial de arco ds é dado pelo módulo dessa derivada:
ds = |r,'(t)| , dt = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 , dt = raiz1 + 4 + 9 , dt = raiz14 , dt

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função que vamos integrar, que é f(x, y) = x + y:
f(r(t)) = t + 2t = 3t
Então, a integral de linha fica:
integralC (x + y) , ds = integral0^1 3t cdot raiz14 , dt

Passo 5

Vamos resolver a integral agora:
integral0^1 3t cdot raiz14 , dt = 3raiz14 integral0^1 t , dt = 3raiz14 [ t^22 ]0^1 = 3raiz14 ( 12 - 0 ) = 3raiz142

Resposta

A integral de linha é dfrac3raiz142.

Exercícios relacionados