Determine a equação paramétrica das curvas dadas
i)
é a curva de interseção do hiperbolóide
com o
.
Resp.:
i)
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação paramétrica da curva
, que é a interseção entre o hiperbolóide dado por
e o plano
. Basicamente, queremos descobrir como
e
variam quando
está sempre fixo em 2. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre superfícies (especificamente hiperbolóides) e como encontrar curvas de interseção entre superfícies.
Passo 2
Primeiro, como o plano é
, vamos substituir esse valor na equação do hiperbolóide. Isso simplifica a equação e nos ajuda a relacionar
e
.
Substituindo
na equação:
Calculando
:
Então, a equação fica:
Passo 3
Vamos isolar os termos com
e
. Subtraindo
de ambos os lados:
Essa é a equação da curva
no plano
. Agora, precisamos parametrizar
e
em termos de um parâmetro, digamos
.
Passo 4
Observando a equação
, percebemos que se parece com a equação padrão de uma hipérbole:
Para ajustar nossa equação a essa forma, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando:
Isso nos mostra que podemos usar parâmetros trigonométricos para
e
.
Passo 5
Para parametrizar
e
, vamos usar funções que satisfaçam a equação da hipérbole. Uma escolha comum é usar a secante para
e uma função linear multiplicada por uma constante para
.
Vamos definir:
Onde
é uma constante que precisamos determinar para satisfazer a equação original.
Passo 6
Substituindo
e
na equação
:
Calculando:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Para que isso seja válido para todos os
, podemos escolher
de forma que os coeficientes se equilibrem. Vamos escolher
, o que simplifica a equação.
Passo 7
Com
, temos:
Agora, já temos
,
, e
.
Resposta
A equação paramétrica da curva
é:
Exercícios relacionados
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
h) é a curva de interseção do elipsóide
com o
Resp.:
h)
Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
f) é a curva de interseção do parabolóide
com o plano
,
Resp.:
f)
Resp.:
Calcule a integral de linha
, onde
é a curva dada.
d) Resp.: 320
d)
Calcule a integral de linha
, onde
é a curva dada.
g) é o segmento de reta de de
a
. Resp.:
g)