Determine a equação paramétrica das curvas dadas
i) C é a curva de interseção do hiperbolóide x^2/16 + y^2/9 - z^2/25 = 1 com o x = 2.
Resp.: C(t) = (2, (3 * raiz(3)) / 2 * sec(t), (5 * raiz(2)) / 2 * t * tg(t)), 0 <= t <= 2 * pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação paramétrica da curva , que é a interseção entre o hiperbolóide dado por e o plano . Basicamente, queremos descobrir como e variam quando está sempre fixo em 2. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre superfícies (especificamente hiperbolóides) e como encontrar curvas de interseção entre superfícies.

Passo 2

Primeiro, como o plano é , vamos substituir esse valor na equação do hiperbolóide. Isso simplifica a equação e nos ajuda a relacionar e .
Substituindo na equação:
Calculando :
Então, a equação fica:

Passo 3

Vamos isolar os termos com e . Subtraindo de ambos os lados:
Essa é a equação da curva no plano . Agora, precisamos parametrizar e em termos de um parâmetro, digamos .

Passo 4

Observando a equação , percebemos que se parece com a equação padrão de uma hipérbole:
Para ajustar nossa equação a essa forma, dividimos ambos os lados por :
Simplificando:
Isso nos mostra que podemos usar parâmetros trigonométricos para e .

Passo 5

Para parametrizar e , vamos usar funções que satisfaçam a equação da hipérbole. Uma escolha comum é usar a secante para e uma função linear multiplicada por uma constante para .
Vamos definir:
Onde é uma constante que precisamos determinar para satisfazer a equação original.

Passo 6

Substituindo e na equação :
Calculando:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Para que isso seja válido para todos os , podemos escolher de forma que os coeficientes se equilibrem. Vamos escolher , o que simplifica a equação.

Passo 7

Com , temos:
Agora, já temos , , e .

Resposta

A equação paramétrica da curva é:

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