Determine a equação paramétrica das curvas dadas
g)
é a curva de interseção do parabolóide
com o parabolóide
.
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a curva
é a interseção de dois parabolóides:
e
. Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas dessa curva. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para igualar as equações e parametrizar a curva resultante.
Passo 2
Primeiro, como
é a interseção dos dois parabolóides, os valores de
nas duas equações devem ser iguais. Então, vamos igualar as duas expressões para
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
:
Então, temos:
Isso representa uma circunferência no plano
com raio
.
Passo 4
Para parametrizar essa circunferência, vamos usar funções trigonométricas. Vamos definir um parâmetro
que varia de
a
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a coordenada
. Podemos usar qualquer uma das duas equações originais. Vamos usar a segunda:
Isso significa que
é constante ao longo da curva de interseção.
Resposta
As equações paramétricas da curva
são: