Determine a equação paramétrica das curvas dadas
g) C é a curva de interseção do parabolóide z = 16 - x^2 - y^2 com o parabolóide z = x^2 + y^2 + 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a curva é a interseção de dois parabolóides: e . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas dessa curva. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para igualar as equações e parametrizar a curva resultante.

Passo 2

Primeiro, como é a interseção dos dois parabolóides, os valores de nas duas equações devem ser iguais. Então, vamos igualar as duas expressões para :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e :
Então, temos:
Isso representa uma circunferência no plano com raio .

Passo 4

Para parametrizar essa circunferência, vamos usar funções trigonométricas. Vamos definir um parâmetro que varia de a :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a coordenada . Podemos usar qualquer uma das duas equações originais. Vamos usar a segunda:
Isso significa que é constante ao longo da curva de interseção.

Resposta

As equações paramétricas da curva são:

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