Determine a equação paramétrica das curvas dadas
g) é a curva de interseção do parabolóide com o parabolóide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a curva é a interseção de dois parabolóides: e . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas dessa curva. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para igualar as equações e parametrizar a curva resultante.
Passo 2
Primeiro, como é a interseção dos dois parabolóides, os valores de nas duas equações devem ser iguais. Então, vamos igualar as duas expressões para :
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e :
Então, temos:
Isso representa uma circunferência no plano com raio .
Passo 4
Para parametrizar essa circunferência, vamos usar funções trigonométricas. Vamos definir um parâmetro que varia de a :
Passo 5
Agora, vamos encontrar a coordenada . Podemos usar qualquer uma das duas equações originais. Vamos usar a segunda:
Isso significa que é constante ao longo da curva de interseção.