Determine a equação paramétrica das curvas dadas
g) é a curva de interseção do parabolóide com o parabolóide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a curva é a interseção de dois parabolóides: e . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas dessa curva. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para igualar as equações e parametrizar a curva resultante.

Passo 2

Primeiro, como é a interseção dos dois parabolóides, os valores de nas duas equações devem ser iguais. Então, vamos igualar as duas expressões para :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e :
Então, temos:
Isso representa uma circunferência no plano com raio .

Passo 4

Para parametrizar essa circunferência, vamos usar funções trigonométricas. Vamos definir um parâmetro que varia de a :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a coordenada . Podemos usar qualquer uma das duas equações originais. Vamos usar a segunda:
Isso significa que é constante ao longo da curva de interseção.

Resposta

As equações paramétricas da curva são:

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha , onde é a curva dada.
j) , onde , com .
Resp.:
Calcule a integral de linha , onde é a curva dada.
g) é o segmento de reta de de a . Resp.:
Calcule a integral de linha , onde é a curva dada.
c) é o arco/parte da curva , de a .
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
(a) .