Calcule a integral de linha integralC f d s, onde C é a curva dada.
j) integralC(x+raizy-z^2) d s, onde C=C1 cup C2, com C1(t)=(t, t^2, 0), C2(t)=(1,1, t) 0 <= t <= 1.
Resp.: 16(5 raiz5+9)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha , onde a curva é composta por duas partes: e . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar cada segmento da curva, calcular a função ao longo de cada parte, encontrar o elemento de comprimento e então integrar de a em cada segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a parte ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 dt para . Para calcular , que representa um pequeno elemento de comprimento na curva, usamos a fórmula:
Aqui, , e .

Passo 3

Vamos calcular ds = raiz1^2 + (2t)^2 + 0^2 dt = raiz1 + 4t^2 dt para f(t, t^2, 0) = t + raizt^2 - 0^2 = t + t = 2t :
integral0^1 2t cdot raiz1 + 4t^2 dt
Agora, substituímos na função :
Então, a integral em fica:

Passo 4

Para resolver a integral de integral 2t cdot raiz1 + 4t^2 dt = 14 integral raizu du = 14 cdot 23 u^3/2 + C = 16 (1 + 4t^2)^3/2 + C , fazemos uma substituição 16 [(1 + 4(1)^2)^3/2 - (1 + 0)^3/2] = 16 (5^3/2 - 1) = 16 (5raiz5 - 1) , então . Ajustando a integral:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 5

Agora, vamos para a parte ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 dt = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 dt = 1 cdot dt para f(1, 1, t) = 1 + raiz1 - t^2 = 1 + 1 - t^2 = 2 - t^2 . Calculando integral0^1 (2 - t^2) dt :
Substituindo na função :
Então, a integral em fica:

Passo 6

Resolvendo a integral de integral (2 - t^2) dt = 2t - t^33 + C :
2(1) - 1^33 - [2(0) - 0^33] = 2 - 13 = 63 - 13 = 53
Avaliado de 0 a 1:

Resposta

Somando as integrais de 16 (5raiz5 - 1) + 53 = 5raiz5 - 1 + 106 = 5raiz5 + 96 e 16(5 raiz5 + 9) :
Portanto, a resposta final é:

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