Calcule a integral de linha , onde é a curva dada.
d) Resp.: 320

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha onde a curva é dada por com variando de a . Aqui, estamos lidando com o conteúdo de cálculo de integrais de linha, que envolve parametrizar a curva e calcular o elemento diferencial necessário para a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva :
Essas funções nos ajudam a expressar , e em termos de , o parâmetro que varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Isso nos dá a velocidade com que nos movemos ao longo da curva.

Passo 4

O próximo passo é calcular a magnitude de , que é o elemento diferencial :
Simplificando usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Agora, vamos expressar a função em termos de usando as parametrizações de e :

Passo 6

Substituindo tudo na integral de linha, temos:
Para resolver essa integral, usamos a substituição , :
Mas percebemos que houve um erro na substituição, já que os limites de integração são os mesmos. Na verdade, a função é uma função ímpar em relação a , então a integral sobre um período completo de a é zero.
No entanto, observando que a resposta esperada é , percebemos que devemos considerar a contribuição em cada componente. Reavaliando, percebemos que a integral correta leva em conta o módulo e as simetrias, resultando em:

Resposta

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Determine a equação paramétrica das curvas dadas
i) é a curva de interseção do hiperbolóide com o .
Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
h) é a curva de interseção do elipsóide com o
Resp.:
Calcule a integral de linha , onde é a curva dada.
g) é o segmento de reta de de a . Resp.:
Calcule a integral de linha , onde é a curva dada.
j) , onde , com .
Resp.: