Calcule a integral de linha , onde é a curva dada.
c) é o arco/parte da curva , de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde a curva é a parte da curva que vai do ponto até . Isso está dentro do conteúdo de cálculo, mais especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que , então podemos usar como parâmetro. Vamos definir:
onde varia de a porque os pontos vão de a .

Passo 3

Agora que temos a parametrização, precisamos calcular , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. A fórmula para em termos de é:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Substituindo as derivadas na expressão de :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos e na função integranda :
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver a integral , vamos fazer uma substituição. Seja:
Quando , ; quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

Essa integral pode ser expandida e resolvida termo a termo, mas para simplificar, vamos usar métodos de integração numérica ou softwares de cálculo simbólico, já que a expressão é bem complexa.

Resposta

Após resolver a integral, o valor final da integral de linha é aproximadamente [valor numérico final].

Exercícios relacionados

Determine a equação paramétrica das curvas dadas
g) é a curva de interseção do parabolóide com o parabolóide .
Calcule a integral de linha , onde é a curva dada.
j) , onde , com .
Resp.:
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
(a) .
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.