Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de , a expressão tende a . Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar entender como controlar o comportamento da função próximo ao ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, queremos que e . Então, precisamos mostrar que:
Passo 3
Vamos analisar a expressão . Para simplificar, podemos separar os valores absolutos:
Agora, vamos encontrar uma forma de relacionar essa expressão com , que é nossa medida de distância do ponto a .
Passo 4
Observe que , já que é sempre não negativo. Portanto:
Isso simplifica nossa inequação para:
Passo 5
Agora, queremos que . Mas sabemos que se , então tanto quanto (pois e ).
Então, se escolhermos , teremos:
Resposta
Portanto, para todo , basta escolher . Assim, mostramos que: