Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de , a expressão tende a . Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar entender como controlar o comportamento da função próximo ao ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, queremos que e . Então, precisamos mostrar que:
Passo 3
Vamos analisar a expressão | x y^4x^2+y^4 |. Para simplificar, podemos separar os valores absolutos:
| x y^4x^2+y^4 | = |x| cdot |y|^4x^2+y^4
Agora, vamos encontrar uma forma de relacionar essa expressão com raizx^2 + y^2, que é nossa medida de distância do ponto (x, y) a (0,0).
Passo 4
Observe que x^2 + y^4 >= y^4, já que x^2 é sempre não negativo. Portanto:
|x| cdot |y|^4x^2+y^4 <= |x| cdot |y|^4y^4 = |x|
Isso simplifica nossa inequação para:
| x y^4x^2+y^4 | <= |x|
Passo 5
Agora, queremos que |x| < epsilon. Mas sabemos que se raizx^2 + y^2 < de, então tanto |x| < de quanto |y| < de (pois raizx^2 + y^2 >= |x| e raizx^2 + y^2 >= |y|).
Então, se escolhermos de, teremos:
|x| < de
Resposta
Portanto, para todo epsilon > 0, basta escolher de. Assim, mostramos que: