Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
(a) lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^4=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar, usando a definição de limite, que quando (x, y) se aproxima de (0,0), a expressão x y^4x^2+y^4 tende a 0. Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar entender como controlar o comportamento da função próximo ao ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim (x, y) (a,b) f(x, y) = L
significa que para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que, se raiz(x - a)^2 + (y - b)^2 < de, então |f(x, y) - L| < epsilon.
No nosso caso, queremos que L = 0 e (a, b) = (0,0). Então, precisamos mostrar que:
| x y^4x^2+y^4 | < epsilon sempre que raizx^2 + y^2 < de

Passo 3

Vamos analisar a expressão | x y^4x^2+y^4 |. Para simplificar, podemos separar os valores absolutos:
| x y^4x^2+y^4 | = |x| cdot |y|^4x^2+y^4
Agora, vamos encontrar uma forma de relacionar essa expressão com raizx^2 + y^2, que é nossa medida de distância do ponto (x, y) a (0,0).

Passo 4

Observe que x^2 + y^4 >= y^4, já que x^2 é sempre não negativo. Portanto:
|x| cdot |y|^4x^2+y^4 <= |x| cdot |y|^4y^4 = |x|
Isso simplifica nossa inequação para:
| x y^4x^2+y^4 | <= |x|

Passo 5

Agora, queremos que |x| < epsilon. Mas sabemos que se raizx^2 + y^2 < de, então tanto |x| < de quanto |y| < de (pois raizx^2 + y^2 >= |x| e raizx^2 + y^2 >= |y|).
Então, se escolhermos de, teremos:
|x| < de

Resposta

Portanto, para todo epsilon > 0, basta escolher de. Assim, mostramos que:
lim (x, y) (0,0) x y^4x^2+y^4 = 0

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