Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de , a expressão tende a . Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar entender como controlar o comportamento da função próximo ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, queremos que e . Então, precisamos mostrar que:

Passo 3

Vamos analisar a expressão . Para simplificar, podemos separar os valores absolutos:
Agora, vamos encontrar uma forma de relacionar essa expressão com , que é nossa medida de distância do ponto a .

Passo 4

Observe que , já que é sempre não negativo. Portanto:
Isso simplifica nossa inequação para:

Passo 5

Agora, queremos que . Mas sabemos que se , então tanto quanto (pois e ).
Então, se escolhermos , teremos:

Resposta

Portanto, para todo , basta escolher . Assim, mostramos que:

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Calcule a integral de linha , onde é a curva dada.
c) é o arco/parte da curva , de a .
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
g) é a curva de interseção do parabolóide com o parabolóide .
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.