Calcule a integral de linha :
, C é a interseção da esfera com o plano

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha. A questão pede para calcularmos , onde . A curva é a interseção da esfera com o plano . Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, parametrização de curvas e geometria de superfícies como esferas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a curva que é a interseção da esfera e do plano. Para isso, substituímos na equação da esfera pela expressão do plano:
Vamos simplificar isso.

Passo 3

Expandindo :
Simplificando:

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos em :
Substituindo de volta:

Passo 5

Dividindo tudo por 2 para simplificar:
Essa é a equação de um círculo no plano com raio 1 e centro em .

Passo 6

Vamos parametrizar a curva . Como é um círculo, usamos coordenadas polares:
Onde varia de a .

Passo 7

Agora, precisamos de , que é o diferencial do comprimento de arco. Calculamos as derivadas das coordenadas em relação a :
Então,
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos na parametrização:
Expandindo :
Então,

Passo 9

A integral de linha fica:

Passo 10

Vamos expandir o integrando:
Integrando termo a termo:
  1. , que de a é zero.
  2. , que de a também é zero.
  3. : fazemos substituição , , então integra-se , que de a também é zero.

Passo 11

Somando todos os termos:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Mostre que a integral de linha ao longo da curva dada pelo gráfico da função no intervalo é
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo