Calcule a integral de linha integralC f d s :
f(x, y, z)=x z^2, C é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano z=y+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha. A questão pede para calcularmos , onde . A curva é a interseção da esfera com o plano . Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, parametrização de curvas e geometria de superfícies como esferas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a curva x^2 + y^2 + (y + 2)^2 = 4 que é a interseção da esfera e do plano. Para isso, substituímos na equação da esfera pela expressão do plano:
Vamos simplificar isso.

Passo 3

Expandindo x^2 + y^2 + y^2 + 4y + 4 = 4 :
x^2 + 2y^2 + 4y = 0
Simplificando:

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos em 2y^2 + 4y = 2(y^2 + 2y) = 2[(y + 1)^2 - 1] = 2(y + 1)^2 - 2 :
x^2 + 2(y + 1)^2 - 2 = 0 implies x^2 + 2(y + 1)^2 = 2
Substituindo de volta:

Passo 5

Dividindo tudo por 2 para simplificar:
x^22 + (y + 1)^2 = 1
Essa é a equação de um círculo no plano com raio 1 e centro em .

Passo 6

Vamos parametrizar a curva x = raiz2 cos theta . Como é um círculo, usamos coordenadas polares:
y = -1 + sin theta
z = y + 2 = 1 + sin theta
Onde varia de a .

Passo 7

Agora, precisamos de dxdtheta = -raiz2 sin theta , que é o diferencial do comprimento de arco. Calculamos as derivadas das coordenadas em relação a dydtheta = cos theta :
dzdtheta = cos theta
ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 , dtheta = raiz2 sin^2 theta + cos^2 theta + cos^2 theta , dtheta = raiz2 sin^2 theta + 2 cos^2 theta , dtheta
ds = raiz2 (sin^2 theta + cos^2 theta) , dtheta = raiz2 , dtheta
Então,
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos f(theta) = (raiz2 cos theta) (1 + sin theta)^2 na parametrização:
(1 + sin theta)^2 = 1 + 2 sin theta + sin^2 theta
Expandindo f(theta) = raiz2 cos theta (1 + 2 sin theta + sin^2 theta) :
Então,

Passo 9

A integral de linha fica:
integral0^2pi raiz2 cos theta (1 + 2 sin theta + sin^2 theta) cdot raiz2 , dtheta = 2 integral0^2pi cos theta (1 + 2 sin theta + sin^2 theta) , dtheta

Passo 10

Vamos expandir o integrando:
2 integral0^2pi ( cos theta + 2 sin theta cos theta + sin^2 theta cos theta ) dtheta
Integrando termo a termo:
  1. , que de a é zero.
  2. , que de a também é zero.
  3. : fazemos substituição , , então integra-se , que de a também é zero.

Passo 11

Somando todos os termos:
2 times 0 = 0

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados