Calcule a integral de linha
:
, C é a interseção da esfera
com o plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha. A questão pede para calcularmos
, onde
. A curva
é a interseção da esfera
com o plano
. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais de linha, parametrização de curvas e geometria de superfícies como esferas e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a curva
que é a interseção da esfera e do plano. Para isso, substituímos
na equação da esfera pela expressão do plano:
Vamos simplificar isso.
Passo 3
Expandindo
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para os termos em
:
Substituindo de volta:
Passo 5
Dividindo tudo por 2 para simplificar:
Essa é a equação de um círculo no plano
com raio 1 e centro em
.
Passo 6
Vamos parametrizar a curva
. Como é um círculo, usamos coordenadas polares:
Onde
varia de
a
.
Passo 7
Agora, precisamos de
, que é o diferencial do comprimento de arco. Calculamos as derivadas das coordenadas em relação a
:
Então,
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos
na parametrização:
Expandindo
:
Então,
Passo 9
A integral de linha fica:
Passo 10
Vamos expandir o integrando:
Integrando termo a termo:
-
, que de a é zero. -
, que de a também é zero. -
: fazemos substituição , , então integra-se , que de a também é zero.
Passo 11
Somando todos os termos:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
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Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Mostre que a integral de linha
ao longo da curva
dada pelo gráfico da função
no intervalo
é
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo