Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver usando a variação dos parâmetros, precisamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada:
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Essa é a equação característica.
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação completa:
Assumimos que essa solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 6
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Onde
,
,
, e
é o Wronskiano das soluções homogêneas:
Passo 7
Calculando
e
:
Passo 8
Integrando
e
para encontrar
e
:
Vamos fazer uma substituição
, então
, ou
. A integral fica:
Isso pode ser resolvido usando frações parciais.
Para
:
Aqui, também fazemos
, então
, mas precisamos ajustar a integral.
Passo 9
Após resolver as integrais (que envolvem métodos de substituição e frações parciais), encontramos
e
. Substituímos esses valores na expressão de
para obter a solução particular.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
Calcule a integral de linha
:
é um quarto da circunferência
entre
e
Calcule a integral de linha
:
, C é a interseção da esfera
com o plano
Mostre que a integral de linha
ao longo da curva
dada pelo gráfico da função
no intervalo
é