Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver usando a variação dos parâmetros, precisamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada:

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, assumimos uma solução da forma e substituímos na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):
Essa é a equação característica.

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação completa:
Assumimos que essa solução particular tem a forma:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 6

Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Onde , , , e é o Wronskiano das soluções homogêneas:

Passo 7

Calculando e :

Passo 8

Integrando e para encontrar e :
Vamos fazer uma substituição , então , ou . A integral fica:
Isso pode ser resolvido usando frações parciais.
Para :
Aqui, também fazemos , então , mas precisamos ajustar a integral.

Passo 9

Após resolver as integrais (que envolvem métodos de substituição e frações parciais), encontramos e . Substituímos esses valores na expressão de para obter a solução particular.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
çãçãâ

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Determine as soluções gerais das equações diferenciais dadas:
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é um quarto da circunferência entre e
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, C é a interseção da esfera com o plano
Mostre que a integral de linha ao longo da curva dada pelo gráfico da função no intervalo é