Calcule as seguintes integrais de linha.
integralC y d s, onde C é o grafico da função y=raiz1-x^2 no intervalo [-1,1]

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralC y , d s, onde C é o gráfico da função y = raiz1 - x^2 no intervalo de x = -1 a x = 1. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais de linha, que envolvem somar valores ao longo de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o elemento de comprimento d s.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a função y = raiz1 - x^2 representa a parte superior de um círculo unitário (raio 1) centrado na origem. Isso significa que C é uma semicircunferência de x = -1 a x = 1.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos parametrizar a curva usando um ângulo theta. Podemos definir:
x = cos theta
y = sin theta
onde theta varia de 0 a pi para cobrir toda a semicircunferência de x = -1 a x = 1.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento d s. Em termos de theta, temos:
dxdtheta = -sin theta
dydtheta = cos theta
Então, o elemento de comprimento é:
d s = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta = raiz(-sin theta)^2 + (cos theta)^2 , dtheta = raizsin^2 theta + cos^2 theta , dtheta = raiz1 , dtheta = dtheta

Passo 5

Agora substituímos y e d s na integral original:
integralC y , d s = integral0^pi sin theta cdot dtheta
Isso porque y = sin theta e d s = dtheta.

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^pi sin theta , dtheta = -cos theta g|0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2

Resposta

O valor da integral de linha é 2.

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