Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha , onde é o gráfico da função no intervalo de a . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais de linha, que envolvem somar valores ao longo de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o elemento de comprimento .

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a função representa a parte superior de um círculo unitário (raio 1) centrado na origem. Isso significa que é uma semicircunferência de a .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos parametrizar a curva usando um ângulo . Podemos definir:
onde varia de a para cobrir toda a semicircunferência de a .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento . Em termos de , temos:
Então, o elemento de comprimento é:

Passo 5

Agora substituímos e na integral original:
Isso porque e .

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Resposta

O valor da integral de linha é .

Exercícios relacionados

Mostre que a integral de linha ao longo da curva dada pelo gráfico da função no intervalo é
Calcule a integral de linha :
, C é a interseção da esfera com o plano
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo
Seja una função par. Mostre que
onde é o gráfico de no intervalo .