Mostre que a integral de linha
ao longo da curva
dada pelo gráfico da função
no intervalo
é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a integral de linha
ao longo de uma curva
definida pela função
, no intervalo de
até
, pode ser transformada na integral
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha, que é um conceito de cálculo multivariável. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e expressar o elemento de arco
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é definida por
, podemos usar
como parâmetro. Então, a curva pode ser representada por
, onde
varia de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de arco
. No cálculo de integrais de linha,
representa um pequeno pedaço de comprimento ao longo da curva. Para parametrizar isso, calculamos a derivada da vetorização
em relação a
:
Passo 4
O comprimento do vetor derivado
nos dá a taxa de variação do comprimento da curva em relação a
. O módulo desse vetor é:
Então, o elemento de arco
pode ser escrito como:
Passo 5
Com a parametrização e o elemento de arco definidos, substituímos na integral de linha original:
Aqui, substituímos
por
porque estamos seguindo a curva
, e
pelo que calculamos no passo anterior.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
:
, C é a interseção da esfera
com o plano
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde
é o grafico da função
no intervalo