Mostre que a integral de linha integralC f(x, y) d s ao longo da curva C dada pelo gráfico da função y=g(x) no intervalo [a, b] é
integralc f d s=integrala^b f(x, g(x)) raiz1+(g^prime(x))^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a integral de linha integralC f(x, y) , d s ao longo de uma curva C definida pela função y = g(x), no intervalo de x = a até x = b, pode ser transformada na integral integrala^b f(x, g(x)) raiz1+(g^prime(x))^2 , d x. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha, que é um conceito de cálculo multivariável. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e expressar o elemento de arco d s em termos de x.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como C é definida por y = g(x), podemos usar x como parâmetro. Então, a curva pode ser representada por r(x) = (x, g(x)), onde x varia de a a b.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de arco d s. No cálculo de integrais de linha, d s representa um pequeno pedaço de comprimento ao longo da curva. Para parametrizar isso, calculamos a derivada da vetorização r(x) em relação a x:
r'(x) = (1, g^prime(x))

Passo 4

O comprimento do vetor derivado r'(x) nos dá a taxa de variação do comprimento da curva em relação a x. O módulo desse vetor é:
|r'(x)| = raiz1 + (g^prime(x))^2
Então, o elemento de arco d s pode ser escrito como:
d s = |r'(x)| , d x = raiz1 + (g^prime(x))^2 , d x

Passo 5

Com a parametrização e o elemento de arco definidos, substituímos na integral de linha original:
integralC f(x, y) , d s = integrala^b f(x, g(x)) raiz1 + (g^prime(x))^2 , d x
Aqui, substituímos y por g(x) porque estamos seguindo a curva C, e d s pelo que calculamos no passo anterior.

Resposta

Portanto, mostramos que:
integralC f(x, y) , d s = integrala^b f(x, g(x)) raiz1+(g^prime(x))^2 , d x

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