Mostre que a integral de linha ao longo da curva dada pelo gráfico da função no intervalo é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a integral de linha ao longo de uma curva definida pela função , no intervalo de até , pode ser transformada na integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha, que é um conceito de cálculo multivariável. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e expressar o elemento de arco em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é definida por , podemos usar como parâmetro. Então, a curva pode ser representada por , onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de arco . No cálculo de integrais de linha, representa um pequeno pedaço de comprimento ao longo da curva. Para parametrizar isso, calculamos a derivada da vetorização em relação a :

Passo 4

O comprimento do vetor derivado nos dá a taxa de variação do comprimento da curva em relação a . O módulo desse vetor é:
Então, o elemento de arco pode ser escrito como:

Passo 5

Com a parametrização e o elemento de arco definidos, substituímos na integral de linha original:
Aqui, substituímos por porque estamos seguindo a curva , e pelo que calculamos no passo anterior.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Calcule a integral de linha :
, C é a interseção da esfera com o plano
Use o método da variação dos parâmetros para obter a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo
Calcule as seguintes integrais de linha.
, onde é o grafico da função no intervalo