Calcule a integral de linha onde e é a circunferência de centro e raio 1 orientada no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva é uma circunferência com centro na origem e raio , orientada no sentido horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo vetorial . Ele é dado por . Notamos que esse campo tem a forma de um campo rotacional ao redor da origem. Além disso, como é uma circunferência de raio , na curva temos que . Portanto, no caminho , o campo vetorial simplifica para .
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva . Como é uma circunferência de raio centrada na origem, podemos usar:
Normalmente, varia de a para uma orientação anti-horária, mas como está orientada no sentido horário, vamos fazer diminuir de a . Então, a parametrização fica: