Calcule a integral de linha integralC F d r onde F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2) e C é a circunferência de centro (0,0) e raio 1 orientada no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2). A curva C é uma circunferência com centro na origem (0,0) e raio 1, orientada no sentido horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo vetorial F. Ele é dado por F(x, y) = (-yx^2+y^2, xx^2+y^2). Notamos que esse campo tem a forma de um campo rotacional ao redor da origem. Além disso, como C é uma circunferência de raio 1, na curva C temos que x^2 + y^2 = 1. Portanto, no caminho C, o campo vetorial simplifica para F(x, y) = (-y, x).

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva C. Como C é uma circunferência de raio 1 centrada na origem, podemos usar:
x = cos theta
y = sin theta
Normalmente, theta varia de 0 a 2pi para uma orientação anti-horária, mas como C está orientada no sentido horário, vamos fazer theta diminuir de 0 a -2pi. Então, a parametrização fica:
theta in [0, -2pi]
Assim, a posição vetor é r(theta) = (cos theta, sin theta).

Passo 4

Vamos calcular dr. Derivando r(theta) em relação a theta, temos:
drdtheta = (-sin theta, cos theta)
Então, dr = (-sin theta, cos theta) dtheta.

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (-sin theta, cos theta) cdot (-sin theta, cos theta) dtheta = (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta
Sabemos que sin^2 theta + cos^2 theta = 1, então:
F cdot dr = 1 cdot dtheta = dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar de theta = 0 a theta = -2pi:
integralC F cdot dr = integral0^-2pi dtheta = theta |0^-2pi = -2pi - 0 = -2pi

Resposta

A integral de linha é -2pi.

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