Sejam f(t)=t imath+2 t^2 jmath+3 t^3 k e g(t)=3 t imath-2 jmath+4 t^2 k. Calcule:
lim t 1[f(t) cdot g(t)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite, quando se aproxima de 1, do produto escalar entre os vetores e . Estamos lidando com Produtos Escalares e Limites na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar entre dois vetores e depois aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 e , o produto escalar é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes dos vetores f(t) = t imath + 2 t^2 jmath + 3 t^3 k g(t) = 3 t imath - 2 jmath + 4 t^2 k e :

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto escalar:
f(t) cdot g(t) = (t)(3t) + (2t^2)(-2) + (3t^3)(4t^2)
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Calculando cada parte:
(t)(3t) = 3t^2 (2t^2)(-2) = -4t^2 (3t^3)(4t^2) = 12t^5

Passo 6

Somando todos os termos:
3t^2 - 4t^2 + 12t^5 = (-t^2) + 12t^5

Passo 7

Agora, queremos calcular o limite quando limt 1 [ -t^2 + 12t^5 ] = - (1)^2 + 12(1)^5 = -1 + 12 = 11 se aproxima de 1:

Resposta

O limite é igual a .

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