Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
. Isso envolve o cálculo de uma integral que utiliza logaritmos e potências. Para resolver isso, vamos usar o método da substituição de variáveis, que é uma técnica para simplificar integrais transformando-as em formas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente para simplificar a integral. Vamos definir:
Isso significa que vamos substituir todo o
por
, o que simplifica a expressão.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando:
Portanto, temos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Agora, a integral ficou bem mais simples:
.
Passo 5
Vamos calcular a integral de
em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Resposta
Substituindo
de volta na expressão, temos: