Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso envolve o cálculo de uma integral que utiliza logaritmos e potências. Para resolver isso, vamos usar o método da substituição de variáveis, que é uma técnica para simplificar integrais transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente para simplificar a integral. Vamos definir:
Isso significa que vamos substituir todo o por , o que simplifica a expressão.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando:
Portanto, temos:

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Agora, a integral ficou bem mais simples: .

Passo 5

Vamos calcular a integral de em relação a :
onde é a constante de integração.

Resposta

Substituindo de volta na expressão, temos:

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Considere a funçāo .
(b) A função é contínua no intervalo fechado ?(Justifique)
Sejam uma função escalar e um campo vetorial, ambos de classe . Responda , caso a operação seja válida, ou , caso não seja:
$ \operatorname{rot}(\operatorname{div}(\nabla(f)))$
Calcule a integral de linha onde é o campo dado por
e é a curva dada por . O campo é conservativo?
Esboce o gráfico de um exemplo de una função que todas as condições dadas:
não está definida; tem uma assíntota ta horizontal em .
í