Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral ln ^2(3 x)x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso envolve o cálculo de uma integral que utiliza logaritmos e potências. Para resolver isso, vamos usar o método da substituição de variáveis, que é uma técnica para simplificar integrais transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente para simplificar a integral. Vamos definir:
u = ln(3x)
Isso significa que vamos substituir todo o por , o que simplifica a expressão.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = ddx ln(3x) = 13x cdot 3 = 1x em relação a du = 1x dx ou dx = x , du para substituir na integral. Calculando:
Portanto, temos:

Passo 4

Vamos substituir integral ln^2(3x)x dx = integral u^2x cdot x , du = integral u^2 , du e na integral original:
Agora, a integral ficou bem mais simples: .

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral u^2 , du = u^33 + C em relação a :
onde é a constante de integração.

Resposta

Substituindo integral ln^2(3x)x dx = ln^3(3x)3 + C de volta na expressão, temos:

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