Calcule a integral de linha
, onde C consiste no segmento de reta de
e no arco do primeiro quadrante da circunferência
de
percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha do campo vetorial
ao longo de um caminho
que é composto por duas partes:
- Um segmento de reta de
a . - Um arco no primeiro quadrante da circunferência
, de a , percorrido no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos dividir a integral em duas partes, calcular cada uma separadamente e depois somar os resultados.
Passo 2
Vamos começar parametrizando o primeiro segmento de reta, que vai de
a
. Para isso, usamos uma parametrização linear:
onde
varia de 0 a 1.
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, substituímos essa parametrização na integral para o primeiro segmento:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, calculamos cada termo:
Agora, somamos os termos dentro do segundo parêntese:
Então, substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos término a termo:
Passo 6
Agora, vamos parametrizar o segundo trecho do caminho, que é o arco da circunferência
no primeiro quadrante, de
a
, percorrido no sentido anti-horário.
Parametrização em termos do ângulo
:
onde
varia de 0 a
.
Calculando as derivadas:
Passo 7
Substituímos esta parametrização na integral para o arco:
Substituindo
,
,
e
:
Simplificando:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
:
Usando substituição
,
:
-
:
-
:
Usando substituição
,
:
Somando tudo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
Somando as duas integrais:
Portanto, o valor da integral de linha é
.
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Considere o movimento não amortecido de um corpo de massa 3 kg , preso a uma mola de constante
Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
onde
e
são constantes.
Calcule a integral de linha
onde C é o segmento de reta da origem ao ponto
.