Calcule a integral de linha , onde C consiste no segmento de reta de e no arco do primeiro quadrante da circunferência de percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho que é composto por duas partes:
  1. Um segmento de reta de a .
  2. Um arco no primeiro quadrante da circunferência , de a , percorrido no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos dividir a integral em duas partes, calcular cada uma separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Vamos começar parametrizando o primeiro segmento de reta, que vai de a . Para isso, usamos uma parametrização linear:
onde varia de 0 a 1.
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, substituímos essa parametrização na integral para o primeiro segmento:
Substituindo , , e :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, calculamos cada termo:
Agora, somamos os termos dentro do segundo parêntese:
Então, substituindo de volta na integral:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos término a termo:

Passo 6

Agora, vamos parametrizar o segundo trecho do caminho, que é o arco da circunferência no primeiro quadrante, de a , percorrido no sentido anti-horário.
Parametrização em termos do ângulo :
onde varia de 0 a .
Calculando as derivadas:

Passo 7

Substituímos esta parametrização na integral para o arco:
Substituindo , , e :
Simplificando:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. :
Usando substituição , :
  1. :
  1. :
Usando substituição , :
Somando tudo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

Somando as duas integrais:
Portanto, o valor da integral de linha é .

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