Calcule a integral de linha integralC 4 x y d x+(2 x^2-3 x y) d y, onde C consiste no segmento de reta de (-3,-2) a(1,0) e no arco do primeiro quadrante da circunferência x^2+y^2=1 de (1,0) a(0,1) percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho que é composto por duas partes:
  1. Um segmento de reta de a .
  2. Um arco no primeiro quadrante da circunferência , de a , percorrido no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos dividir a integral em duas partes, calcular cada uma separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Vamos começar parametrizando o primeiro segmento de reta, que vai de x(t) = -3 + 4t y(t) = -2 + 2t a dx = 4,dt e dy = 2,dt . Para isso, usamos uma parametrização linear:
onde varia de 0 a 1.
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, substituímos essa parametrização na integral para o primeiro segmento:
I1 = integral0^1 [4x(t)y(t) cdot dx + (2x(t)^2 - 3x(t)y(t)) cdot dy]
Substituindo I1 = integral0^1 [4(-3 + 4t)(-2 + 2t) cdot 4 + (2(-3 + 4t)^2 - 3(-3 + 4t)(-2 + 2t)) cdot 2 ] dt , , e :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, calculamos cada termo:
4x(t)y(t) = 4(-3 + 4t)(-2 + 2t) = 4(6 - 12t + 8t^2) = 24 - 48t + 32t^2
2x(t)^2 = 2(-3 + 4t)^2 = 2(9 - 24t + 16t^2) = 18 - 48t + 32t^2
-3x(t)y(t) = -3(-3 + 4t)(-2 + 2t) = -3(6 - 12t + 8t^2) = -18 + 36t - 24t^2
Agora, somamos os termos dentro do segundo parêntese:
2x(t)^2 - 3x(t)y(t) = (18 - 48t + 32t^2) + (-18 + 36t - 24t^2) = -12t + 8t^2
Então, substituindo de volta na integral:
I1 = integral0^1 [(24 - 48t + 32t^2) cdot 4 + (-12t + 8t^2) cdot 2 ] dt
Simplificando:
I1 = integral0^1 [96 - 192t + 128t^2 - 24t + 16t^2 ] dt = integral0^1 (96 - 216t + 144t^2) dt

Passo 5

Agora, integramos término a termo:
I1 = [96t - 108t^2 + 48t^3 ]0^1 = (96 cdot 1 - 108 cdot 1^2 + 48 cdot 1^3) - (0) = 96 - 108 + 48 = 36

Passo 6

Agora, vamos parametrizar o segundo trecho do caminho, que é o arco da circunferência x(theta) = cos(theta) y(theta) = sin(theta) no primeiro quadrante, de dx = -sin(theta),dtheta e dy = cos(theta),dtheta a , percorrido no sentido anti-horário.
Parametrização em termos do ângulo :
onde varia de 0 a .
Calculando as derivadas:

Passo 7

Substituímos esta parametrização na integral para o arco:
I2 = integral0^pi2 [4x(theta)y(theta) cdot dx + (2x(theta)^2 - 3x(theta)y(theta)) cdot dy ]
Substituindo I2 = integral0^pi2 [4cos(theta)sin(theta) cdot (-sin(theta)) + (2cos^2(theta) - 3cos(theta)sin(theta)) cdot cos(theta) ] dtheta , I2 = integral0^pi2 [-4cos(theta)sin^2(theta) + 2cos^3(theta) - 3cos^2(theta)sin(theta) ] dtheta , e :
Simplificando:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. -4 integral cos(theta)sin^2(theta) dtheta :
-4 integral u^2 du = -4 cdot u^33 = -43 sin^3(theta)
Usando substituição 2 integral cos^3(theta) dtheta = 2 cdot (sin(theta)3 + sin(3theta)9) = 23sin(theta) + 29sin(3theta) , -3 integral cos^2(theta)sin(theta) dtheta :
-3 cdot (-integral u^2 du) = 3 cdot u^33 = cos^3(theta)
  1. I2 = [ -43 sin^3(theta) + 23sin(theta) + 29sin(3theta) + cos^3(theta) ]0^pi2 :
sin(pi2) = 1, cos(pi2) = 0, sin(3pi2) = -1
  1. -43(1)^3 + 23(1) + 29(-1) + (0)^3 = -43 + 23 - 29 = -43 + 23 - 29 = -43 + 23 = -23 :
sin(0) = 0, cos(0) = 1, sin(0) = 0
Usando substituição -43(0)^3 + 23(0) + 29(0) + (1)^3 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 , I2 = (-23) - (1) = -53 :
Somando tudo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

Somando as duas integrais:
integralC 4xy, dx + (2x^2 - 3xy) dy = I1 + I2 = 36 - 53 = 1033 approx 34,33
Portanto, o valor da integral de linha é .

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