Calcule a integral de linha onde C é o segmento de reta da origem ao ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai da origem até o ponto . Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente no tópico de integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , substituir na integral e então calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como é um segmento de reta que vai da origem até o ponto , podemos usar um parâmetro que varia de a para representar essa trajetória. A parametrização fica assim:

Passo 3

Agora, substituímos a parametrização na função vetorial que está dentro da integral. A função dada é . Substituindo , e , temos:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o vetor derivada da parametrização, que é :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre e :

Passo 6

Finalmente, substituímos tudo na integral e calculamos o valor:

Resposta

A integral de linha vale 17,5.

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Calcule a integral de linha , onde C consiste no segmento de reta de e no arco do primeiro quadrante da circunferência de percorrido no sentido anti-horário.
Escolha apenas uma das questões abaixo para resolver:
Considere o movimento não amortecido de um corpo de massa 3 kg , preso a uma mola de constante , que foi colocado em movimento com deslocamento inicial de para baixo da posição de equilíbrio e depois solto. Supondo que a massa sofre a ação de uma força externa de , determine a posição do corpo em .
Calcule, caso existam, os seguintes limites: