Calcule a integral de linha integralC(x+y) d x+(y+z) d y+(x+z) d z onde C é o segmento de reta da origem ao ponto (1,2,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de linha integralC(x+y) dx + (y+z) dy + (x+z) dz, onde C é o segmento de reta que vai da origem (0,0,0) até o ponto (1,2,4). Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente no tópico de integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva C, substituir na integral e então calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva C. Como C é um segmento de reta que vai da origem até o ponto (1,2,4), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1 para representar essa trajetória. A parametrização fica assim:
r(t) = (1 cdot t,, 2 cdot t,, 4 cdot t) = (t,, 2t,, 4t) para t in [0, 1]

Passo 3

Agora, substituímos a parametrização na função vetorial que está dentro da integral. A função dada é F(x, y, z) = (x + y,, y + z,, x + z). Substituindo x = t, y = 2t e z = 4t, temos:
F(r(t)) = (t + 2t,, 2t + 4t,, t + 4t) = (3t,, 6t,, 5t)

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o vetor derivada da parametrização, que é r'(t):
r'(t) = ( dxdt,, dydt,, dzdt ) = (1,, 2,, 4)

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre F(r(t)) e r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = (3t) cdot 1 + (6t) cdot 2 + (5t) cdot 4 = 3t + 12t + 20t = 35t

Passo 6

Finalmente, substituímos tudo na integral e calculamos o valor:
integralC F cdot dr = integral0^1 35t , dt = 35 [ t^22 ]0^1 = 35 ( 12 - 0 ) = 352 = 17,5

Resposta

A integral de linha vale 17,5.

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