Determine a equação paramétrica das curvas dadas
h)
é a curva de interseção do elipsóide
com o
Resp.:
h)
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação paramétrica da curva
. Essa curva é onde o elipsóide
intersecta o plano
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica e álgebra para manipular as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa interseção. O elipsóide é uma superfície tridimensional que parece uma esfera deformada, e o plano
é um corte horizontal nesse espaço. Ao substituir
na equação do elipsóide, vamos encontrar uma equação que representa a curva de interseção
no plano
.
Passo 3
Substituindo
na equação do elipsóide, temos:
Simplificando a parte do
:
Passo 4
Vamos isolar os termos de
e
:
Calculando o lado direito:
Então:
Passo 5
Agora, para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por
para eliminar os denominadores:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Essa equação é a de uma elipse no plano
. Sabemos que a equação paramétrica de uma elipse é dada por:
onde
e
são os semi-eixos da elipse. Aqui,
e
, então
e
.
Passo 7
Mas, para deixarmos a notação mais elegante, podemos escrever os coeficientes com a raiz de
. Multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 8
Portanto, a equação paramétrica da curva
fica:
onde
varia de
a
para percorrer toda a curva.