Determine a equação paramétrica das curvas dadas
h) C é a curva de interseção do elipsóide x^2/16 + y^2/9 + z^2/25 = 1 com o y = 2
Resp.: C(t) = (4 * raiz(5) / 3 * cos(t), 2, 5 * raiz(5) / 3 * sen(t)), 0 <= t <= 2 * pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação paramétrica da curva C. Essa curva é onde o elipsóide x^2/16 + y^2/9 + z^2/25 = 1 intersecta o plano y = 2. Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica e álgebra para manipular as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa interseção. O elipsóide é uma superfície tridimensional que parece uma esfera deformada, e o plano y = 2 é um corte horizontal nesse espaço. Ao substituir y = 2 na equação do elipsóide, vamos encontrar uma equação que representa a curva de interseção C no plano y = 2.

Passo 3

Substituindo y = 2 na equação do elipsóide, temos:
Simplificando a parte do y:

Passo 4

Vamos isolar os termos de x e z:
Calculando o lado direito:
Então:

Passo 5

Agora, para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por para eliminar os denominadores:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Essa equação é a de uma elipse no plano y = 2. Sabemos que a equação paramétrica de uma elipse é dada por:
onde a e b são os semi-eixos da elipse. Aqui, e , então e .

Passo 7

Mas, para deixarmos a notação mais elegante, podemos escrever os coeficientes com a raiz de . Multiplicando numerador e denominador por raiz(5):

Passo 8

Portanto, a equação paramétrica da curva C fica:
onde t varia de 0 a para percorrer toda a curva.

Resposta

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