Determine a equação paramétrica das curvas dadas
h) é a curva de interseção do elipsóide com o
Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação paramétrica da curva . Essa curva é onde o elipsóide intersecta o plano . Para isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica e álgebra para manipular as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa interseção. O elipsóide é uma superfície tridimensional que parece uma esfera deformada, e o plano é um corte horizontal nesse espaço. Ao substituir na equação do elipsóide, vamos encontrar uma equação que representa a curva de interseção no plano .

Passo 3

Substituindo na equação do elipsóide, temos:
Simplificando a parte do :

Passo 4

Vamos isolar os termos de e :
Calculando o lado direito:
Então:

Passo 5

Agora, para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por para eliminar os denominadores:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Essa equação é a de uma elipse no plano . Sabemos que a equação paramétrica de uma elipse é dada por:
onde e são os semi-eixos da elipse. Aqui, e , então e .

Passo 7

Mas, para deixarmos a notação mais elegante, podemos escrever os coeficientes com a raiz de . Multiplicando numerador e denominador por :

Passo 8

Portanto, a equação paramétrica da curva fica:
onde varia de a para percorrer toda a curva.

Resposta

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f) é a curva de interseção do parabolóide com o plano ,
Resp.:
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Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
i) é a curva de interseção do hiperbolóide com o .
Resp.:
Calcule a integral de linha , onde é a curva dada.
d) Resp.: 320